Phần giới thiệu

PHẦN MỘT

SỰ HÌNH THÀNH NÊN VŨ TRỤ

Trước khi đưa ra quan điểm mới về sự hình thành nên vũ trụ, tôi xin được tóm tắc sơ lược về quan điểm, cũng như những luận thuyết hình thành nên vũ trụ, của các nhà khoa học hiện nay.

1) Thuyết Big Bang (hay còn gọi là vụ nổ lớn).

Thuyết “Big Bang”được đề xuất ra khoảng thời gian năm 1948, do đề xuất của nhà bác học người Mỹ gốc Nga George Gamow. Cho rằng vũ trụ thời kỳ đầu rất nóng và đặc, đồng thời phát sáng nóng trắng. Nghĩa là ở những giây phút đầu tiên của vũ trụ, xuất hiện một điểm kỳ dị vô cùng nhỏ, nhưng chứa một mật độ vật chất vô cùng lớn. Cộng với một nhiệt độ khủng khiếp, không hình dung nỗi, kèm theo bốn lực tương tác xuất hiện cùng một lúc. Thuyết “Big Bang”cho rằng, trong ba phút đầu của vụ nổ vũ trụ đã ra đời. Từ khi thuyết “Big Bang”ra đời cho đến ngày hôm nay rất được nhiều nhà khoa học trên thế giới ủng hộ, và qua một số kiểm chứng của khoa học ngày nay, tính thuyết phục của Thuyết “Big Bang”càng được cũng cố.

2) Thuyết “Vô thủy vô chung”

Thuyết “vô thủy vô chung” cho rằng, vũ trụ không có khởi đầu cũng không có kết thúc, và được tồn tại mãi mãi. Thuyết “vô thủy vô chung” được một số nhà khoa học ủng hộ nhưng không được mạnh mẻ lắm.

Nhìn chung, hai luận thuyết hình thành nên vũ trụ, mà các nhà khoa học trên thế giới, đang quan tâm nghiên cứu, cho đến ngày hôm nay, vẫn chưa có một luận thuyết nào, có tính thuyết phục hoàn toàn, kể cả thuyết “Big Bang”, rất được sự ủng hộ của các nhà khoa học hiện nay. Do có nhiều khiếm khuyết không thể giải thích được, nên tôi đưa ra một luận thuyết hoàn toàn mới mẻ mà cho đến ngày hôm nay chưa một ai công bố, luận thuyết của tôi bao gồm hai phần mà tôi xin được trình bày như sau:

PHẦN I:
Định nghĩa: vũ trụ là gì?

Theo tôi: vũ trụ được bao gồm hai phạm trù, một là phạm trù vật chất, và hai là phạm trù không mang tính vật chất.

Lý giải:

Phạm trù vật chất: là bao gồm những thứ có trọng lượng, mà ta có thể, cân, đong, đo, đếm được, kể cả hạt “photon” ánh sáng.
Phạm trù không vật chất: là bao gồm những thứ mà chúng ta không thể nào, cân, đong, đo, đếm được mà tôi tạm gọi là “chân không lượng tử”.

Từ hai phạm trù trên, tôi có thể định nghĩa vũ trụ được bao gồm hai phạm trù, vật chất và không vật chất. Trong đó phạm trù không vật chất chứa phạm trù vật chất.

Tôi xin được phân tích định nghĩa trên, tại sao lại có phạm trù không vật chất? Chứa đựng phạm trù vật chất? Tại vì chỉ có không vật chất mới không có khối lượng và trọng lượng, mà đã không có khối lượng và trọng lượng, thì mới không có giới hạn. còn vật chất do có khối lượng và trọng lượng, nên phải có giới hạn. Vậy thì giữa hai phạm trù, giới hạn và không giới hạn đó, cái nào chứa cái nào? Và phạm trù nào quyết định phạm trù nào? Tôi xin được nhấn mạnh, là chỉ có phạm trù không vật chất, mới chứa đựng được phạm trù vật chất, và chỉ có phạm trù không vật chất, mới quyết định được phạm trù vật chất, có nghĩa là không vật chất, sản sinh ra vật chất, và sản sinh như thế nào, tôi xin được nêu ra ở phần tiếp theo.

PHẦN II:
Từ định nghĩa về Vũ Trụ, tôi xin được nêu ra một hệ thức hình thành nên vũ trụ ngày hôm nay đó là

“Định luật bảo toàn động nhiệt học”
Khi nhiệt năng giảm xuống bằng không, thì động năng tăng lên cực đai, và ngược lại:

Hệ thức:

D: là động năng.
T: là nhiệt độ.
a: là hằng số vũ trụ.

Tóm lại luận thuyết hình thành nên vũ trụ của tôi bao gồm "Định nghĩa và định luật bảo toàn động nhiệt học". Trong hai vấn đề nêu trên thì "Định luật bảo toàn động nhiệt học" sản sinh ra toàn bộ vật chất, cũng như bốn luật tương tác trong vũ trụ mà ngày nay chúng ta ai cũng biết.

PHẦN HAI

KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN

Trước khi thuyết tương đối của nhà bác học ArBert EinsTein ra đời, chúng ta chỉ hiểu không gian mang tính chất ba chiều,. Nhưng sau này EinsTein đưa vào không gian một chiều nữa và được gọi là không thời gian gồm ba chiều không gian và một chiều thời gian. Vấn đề không thời gian tưởng chừng đơn giản nhưng cho đến ngày hôm nay vẫn là đề tài làm đau đầu cho các nhà khoa học nói riêng và cho cả nhân loại nói chung. Tại sao lại như vậy? Tại vì nhà bác học AlBert EinsTein đã làm đảo lộn mọi suy nghĩ bình thường của chúng ta. Buộc chúng ta hiểu không gian và thời gian theo cái hiểu của EinsTein, mà với sự hiểu biết bình thường của chúng ta làm sao đủ khả năng hiểu được không thời gian theo đầu óc cao siêu của nhà bác học EinsTein.

Thuyết tương đối rộng của nhà bác học AlBert EinsTein nói rằng, khối lượng làm cong không gian và thời gian. Với quan niệm cho rằng, ánh sáng muốn đi từ một hành tinh xa xôi, đến trái đất của chúng ta, phải mất một khoảng thời gian , do vậy ánh sáng mà ngày nay chúng ta nhận được, là ánh sáng của nhiều tỷ năm về trước. Cái mà hiện tại chúng ta đang nhìn thấy là cái mà hành tinh đó đã sảy ra nhiều tỷ năm về trước. Từ những lập luận đó thuyết tương đối rộng đưa đến một hệ quả là: (giả sử chúng ta ngồi trên chiếc phi thuyền đi nhanh hơn vận tốc ánh sáng chúng ta sẽ đuổi kịp quá khứ và sinh ra ở tương lai)

Từ thuyết tương đối rộng đưa đến hệ quả như trên, các nhà khoa học biết rằng, quan niệm về không gian và thời gian của nhà Bác học AlBert EinsTein sai, nhưng để chỉ cái sai đó thì cho mãi đến ngày hôm nay, chưa một nhà khoa học nào đủ khả năng làm được. Đứng trước tình thế nan giải của các nhà khoa học ngày nay, tôi xin được nêu ra một vài hiểu biết, về hai phạm trù không gian và thời gian, mà trong thời gian qua cá nhân tôi nghiên cứu và tìm hiểu được. Tôi xin định nghĩa hai phạm trù không gian và thời gian như sau:

- Định nghĩa:

hai phạm trù không gian và thời gian không mang tính vật chất, nên không gian và thời gian chỉ có một thì hiện tại.

- Hệ quả

Từ định nghĩa trên đưa đến hệ quả là không gian và thời gian không mang tính co giản.

- Từ định nghĩa và hệ quả ta có thể suy ra rằng không có ai có thể kéo thời gian chạy nhanh về phía trước hay lôi ngược thời gian chạy chậm lại. Có nghĩa là không ai có thể làm cho thời gian trôi nhanh hay trôi chậm.

PHẦN BA

SAI LỆCH TOÁN HỌC

Từ trước đến nay chúng ta sử dụng các con số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, nhưng cho đến ngày hôm nay, để hiểu cặn kẻ về con số không (0), thì chưa một ai đủ khả năng giải thích, một cách trọn vẹn, kể cả các nhà toán học trên thế gới. Cũng như nhà toán học cổ Ai Cập, khi nghĩ ra và đưa vào sử dụng trong toán học, tại sao?

Theo tôi khi nghĩ ra và đưa vào sử dụng con số không(0), trong toán học do lúc đó chưa đủ khả năng, hiểu được sự hình thành nên vũ trụ, cũng như không gian và thời gian, nên con số không (0) tự nhiên còn là một ẩn số. Mà ba phạm trù( sự hình thành vũ trụ, không gian và thời gian cũng như toán học), có sự liên hệ mật thiết với nhau, nếu chúng ta hiểu cặn kẻ một trong ba phạm trù đó, chúng ta sẽ hiểu được hai phạm trù còn lại.

Trong toán học ngày nay, do chưa hiểu rỏ bản chất con số không (0) tự nhiên nên chúng ta cho là trong toán học không có con số nhỏ nhất, hay là con số lớn nhất, kể cả hai con số (+¥hoặc -¥). Ơ đây tôi xin chấn chỉnh lại con số tự nhiên trong toán học, nghĩa là sửa lại quan niệm sai lệch về toán học.

Sai lệch toán học:

Theo tôi trong tự nhiên, con số không (0) là con số nhỏ nhất, có nghĩa là không có bất kỳ một con số nào, nhỏ hơn con số không (0), nghĩa là giới hạn nhỏ nhất trong toán học, là con số không (0). Trong tự nhiên không có con số vô hạn, kể cà con số (+¥) trong toán học chưa phải là con số lớn nhất. Nói tóm lại trong tự nhiên, cũng như toán học có giới hạn nhỏ nhất là không (0), nhưng không có giới hạn lớn nhất.

Từ những vấn đề đưa ra ở trên, tôi xin được đề xuất sách giáo khoa toán học, nên chấn chỉnh lại để tránh sự hiểu lầm, cho những thế hệ tiếp theo, về con số không (0) nghĩa là chúng ta không thể dùng bất đẳng thức:

A + B £ 0.

Mà ta phải sửa lại A+B =(bằng) hoặc khác không tuỳ theo ký hiệu toán học mà chúng ta qui định.

Chú thích:
+¥ cộng vô cục.
-¥ trừ vô cực.

Đó là những vấn đề mà ngày nay các nhà khoa hoc đang quan tâm theo dỏi.

Ghi chú :
Tôi sẽ công bố trong một ngày gần đây thêm một số kết quả sau
- Một phương trình xác định vị trí các hành tinh
- Phương pháp chữa cháy rừng hiệu quả.

Phần 1

A / LỜI THIỆU :

…Thưa toàn thể các bạn , từ bao nhiêu thế kỷ nay toán học bắt chúng ta phải học và phải hiểu về toán học mang nặng tính trừu tượng , xa rời tự nhiên và thực tế , để chứng minh những điều tôi nói , tôi xin đưa ra những ví dụ và những chứng minh cụ thể sau:

1/ Trong tự nhiên cũng như trong thực tế , không có bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn không(< 0 ) , vậy mà trong các môn Toán – Lý” dạy và bắt chúng ta phải học và phải hiểu lắm thứ nhỏ hơn không(< 0 ) , tôi xin đơn cử một số ví dụ như sau:

Trong “Toán” thì có các giá trị ( 0 > - 1 > -2 > -3 > -4 > -5 ,………..> - ), hoặc sin < 0 , cos < 0 ,…v..v…… ;

Còn bên “Vật lý “ thì có Vận tốc ( V < 0 ) , Gia tốc ( a < 0 ) , Lực tác dụng ( F < 0 )…….v..v……

2/ Chính vì toán học mang nặng tính trừu tượng , nên toán học bắt chúng ta sử dụng đến các giá trị tuyệt đối (I I) , mang nặng tính phép thuật biến hoá , có thể biến các giá trị đang âm (-) nhỏ hơn không( - < 0) , thành các giá trị dương lớn hơn không (+ > 0)

3/ Để chứng minh cho quan niệm “Sai lệch của nền tảng toán học cũ ” về các giá trị âm nhỏ hơn không (- < 0) , tôi xin đưa ra hai bài toán cơ bản và mấu chốt , chỉ ra những “ Sai lệch ” trong cách lập luận của “ Toán học cũ ” như sau:

. NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN CHỈ RA LẬP LUẬN SAI LỆCH CỦA “ PHÉP TOÁN CŨ ”

I/ Phép toán cũ :

Toán học cũ đã trải qua hàng nhiều thế kỷ, khi mà các nhà toán học sáng tạo ra các giá trị âm(-) và các giá trị dương(+), đồng thời luôn "quy ước" các giá trị dương(+), bao gồm cả giá trị (zêro) hay còn gọi là giá trị không(0), luôn lớn hơn các giá trị âm( - ),thông qua các "tiên đề" mà không đưa ra bất kỳ phương trình nào, hay công thức toán học nào,chứng minh cho chúng ta biết rằng các giá trị dương(+) luôn lớn hơn các giá trị âm(-) một cách cụ thể là bao nhiêu? Đồng thời khi sáng tạo ra các giá trị âm(-) luôn nhỏ hơn không ( - < 0 ) đó,các nhà toán học thời bấy giờ vô hình chung đã biến cái toán học từ "thực tế và logic" ,trở thành một môn toán học mang nặng tính "trừu tượng và phi thực tế".Để rồi khi tôi phát hiện ra các giá trị âm(-) trong toán học là "phi logic và phi thực tế",tôi thử đưa ra một bài toán rất đơn giản,rất cơ bản của toán học, nhờ các nhà toán học có thể dùng bất kỳ công thức toán học nào, chứng minh cho tôi biết ( + 3 > -3 bao nhiêu đơn vị? ),thì không có bất kỳ nhà toán học nào chứng minh được bài toán rất đơn giản và rất cơ bản của toán học đó.Chỉ với một bài toán rất cơ bản và cụ thể của toán học {( + 3 > -3 bao nhiêu đơn vị? ),thì mười người lại cho ra mười kết quả khác nhau,người thì bảo rằng {+3 > -3 ; là 1 đơn vị ; 3 đơn vị ; người thì bảo lớn hơn 6 đơn vị ; 9 đơn vị ; 12 đơn vị ;thậm chí có người lại bảo lớn hơn 8 đơn vị },thì quả thật là khó hiểu cho một nền tảng toán học mang tính “lệch lạc” như vậy.
Đứng trước một nền tảng toán học mang tính “phi thực tế” và “phi logic” như vậy, tôi xin dùng các phép toán chỉ ra sự “SAI LỆCH” của các “tiên đề và quy ước”, khi cho rằng các {giá trị dương(+) luôn lớn hơn các giá trị âm(-)}của "Nền tảng toán học cũ " như sau:

II/ Phép toán mới :

Để đơn giản tôi xin lấy giá trị (bị cộng là 20) , để thực hiện các phép tính cho các bạn dễ hiểu như sau :

1/ Bài toán 1 :

20 + (- 5) = 15 ; (1

20 + (- 10) = 10 ; (2)

Từ kết quả hai bài toán (1) và (2) cho ra (15 > 10) , ta suy ra (- 10 > -5)

2/Bài toán 2 :

20 + (- 5) = 15 ; (3)

20 + (- 0) = 20 ; (4)

Từ kết quả hai bài toán (3) và (4) cho ra (20 > 15) , ta suy ra ( -5 > 0 )

Tại sao tôi đưa ra kết luận đi ngược lại “ Luận điểm toán cũ ” như vậy ? Tôi xin lập luận theo “ phép toán mới ” như sau :

Cùng một (giá trị bị cộng là 20) , nếu chúng ta cộng cho một (số được cộng) , nếu kết quả cho ra (giá trị lớn) , thì (số được cộng đó sẽ có giá trị nhỏ) và ngược lại nếu (kết quả cho ra giá trị nhỏ) , thì (số được cộng đó sẽ có giá trị lớn)

Do bài toán (1) cho ra (kết quả 15 > 10) , từ đó ta suy ra (số được cộng là -10 , lớn hơn số được cộng là -5) , nghĩa là (- 10 > -5)

Do bài toán (2) cho ra (kết quả 20 > 15) , từ đó ta suy ra (số được cộng là -5 , lớn hơn số được cộng là (0) , nghĩa lả (- 5 > 0) .Với cách chứng minh trên theo “ Suy luận toán mới ” của tôi , thì các giá trị âm vẫn lớn hơn không , vì vậy trong dải số âm thì :

> ……………- 5 > - 4 > - 3 > - 2 > - 1 > 0

Chú thích : Các kết quả của hai bài toán trên cho ra luôn nhỏ hơn , hay bằng số bị cộng là(20)

III/ Trong phép so sánh lớn hơn ( > ), hoặc nhỏ hơn ( < ) :

Theo “ Phép toán cũ ” , thì cho rằng chúng ta có thể so sánh bất kỳ các giá trị âm (-) , dương (+) với nhau , đồng thời lúc nào cũng lấy giá trị dương(+) làm gốc , để so sánh với giá trị âm(-) và lúc nào cũng cho giá trị dương(+) , lớn hơn giá trị âm(-) :

+ 3 > - 3 ; +1 > - 1.000 ………v.v……..; Hoặc - 1 > - 3 ; 10 > 1 ……….v.v……..

Chính vì lúc nào giá trị dương(+) cũng lớn hơn giá trị âm(-) , nên “ Phép toán cũ ” dễ bị “ Sai lệch và bế tắc ” trước các bài toán đại loại như sau :

1/ Bài toán 1 :

Phép so sánh giữa các giá trị dương ( + ) với nhau : Hoàn toàn “ Đúng ” , vì giữa hai người có tiền , chúng ta có thể tiến hành phép so sánh để biết ai có tiền nhiều hơn .

3 > 2 ; 5 > 3 suy ra 3 + 5 > 2 + 3 ; Nghĩa là 8 > 5 ; Đúng không ? từ phép so sánh đó ta có thể suy ra

3 x 5 > 2 x 3 ; Nghĩa là 15 > 6 , phép so sánh đó “ hoàn toàn đúng ” .

2/ Bài toán 2 :

Phép so sánh các giá trị âm ( - ) và dương ( + ) , đồng thời lúc nào cũng cho giá trị dương lớn hơn giá trị âm: Hoàn toàn “ Sai ” , tại sao ? Tại vì khi ta lấy :

3 > - 6 ; 2 > - 3 ; Suy ra 3 + 2 > - 6 + - 3 ; Suy ra + 5 > - 9 ; Đúng không ?

Nhưng từ phép so sánh đó ta “ Không thể ” suy ra :

3 x 2 > (- 6) x (- 3) , bởi vì kết quả cho ra là (6 > 18) lại “ Sai hoàn toàn ”

3/ Bài toán 3 :

Phép so sánh các giá trị âm ( - ) và âm(-) với nhau , đồng thời cho rằng : các giá trị càng âm nhỏ , thì càng lớn hơn các giá trị âm lớn .

Ví dụ :

- 3 > - 6 ; Là “ Sai hoàn toàn ” từ toán học cho đến thực tế , tại sao tôi lại khẳng định như vậy ? Tôi xin được chứng minh cụ thể như sau :

* Sai từ toán học :

-3 > -6 ;

-2 > -3 ;

suy ra (-3) + ( -2) > (-6) + (-3) : Đúng không ?

Nhưng từ phép so sánh đó ta “ Không thể ” :

suy ra -3 x -2 > -6 x -3 ; Bởi vì kết quả sẽ cho ra ( + 6 > + 18 ) lại “ Sai hoàn toàn ”

* Sai từ thực tế :

Trường hợp thiếu nợ : Nếu bạn A thiếu nợ (3đ) , nghĩa là bạn A bị âm (- 3đ) ; Còn bạn B thiếu nợ (6đ) , nghĩa là bạn B bị âm (- 6đ) . Vì vậy nếu xét về khâu thiếu nợ hay (thâm hụt), thì bạn B thiếu nợ nhiều hơn bạn A, hoặc ( bạn B bị âm nhiều hơn bạn A) , nên suy ra - 6 > -3 , thì mới đúng từ toán học cho đến thực tế .

Bây giờ nếu xét về khâu có tiền : Trường hợp hai bạn A và B điều được cho (20đ) , thì lúc đó số tiền của bạn A còn lại là 20đ – 3đ = 17đ ; Và bạn B còn lại là 20đ – 6đ = 14đ , vì vậy xét về khâu có tiền thì bạn A sẽ có nhiều tiền hơn bạn B , nên suy ra 17 > 14 , thì mới đúng từ toán học cho đến thực tế .

* Đó là các bài toán “ Mấu chốt “ , chỉ ra những “Sai lệch” của “ Nền tảng toán học cũ” , mà từ nào đến giờ chúng ta phải học và phải hiểu như vậy .

Chính vì “ Toán học cũ ” mang nặng tính trừu tượng và phi thực tế, nên “Nền tảng toán học cũ “ bản thân chúng chứa đựng những “ mâu thuẩn nội tại” không thể giải thích , cũng như các “ tiên đề ” mang tính bắt buộc , mà không cần phải lý giải hay chứng minh , đồng thời dễ bị bế tắc khi có người đặt ra những câu hỏi đại loại như sau:

1/ Trong tự nhiên cũng như trong thực tế , không có bất kỳ cái gì , hoặc bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn không (< 0) , vậy mà tại sao trong “ Toán – Lý “ lại dạy và bắt chúng ta phải học và phải hiểu lắm thứ nhỏ hơn không (< 0)

2/ Các bạn hảy nhìn vào dải số mang các giá trị âm (-) và dương (+) mà “Toán học cũ “ đã quy ước như sau:

……………. - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , + 1 , + 2 , + 3 ,+ 4 , + 5 ………………….,+

Nghĩa là những số nằm bên tay trái của con số không (0) , mang giá trị âm(-) , đều nhỏ hơn không ( - < 0) và những số nằm bên tay phải của con số không(0) , đều mang giá trị dương(+)và lớn hơn không (+ > 0) . Vậy mà khi tôi đưa ra câu hỏi là : tại sao khi tôi lấy hai giá trị âm (-) nhỏ hơn không (- < 0) , như hai giá trị

( - 3 < 0) và (- 4 < 0) , nằm bên tay trái của số không(0) , nhân với nhau thì kết quả lại cho ra giá trị dương (+ 12 > 0) ? Thì không một nhà toán học nào đủ khả năng giải thích tại sao lại như vậy

3/ Tương tự như câu hỏi trên, khi tôi đưa ra giá trị âm (-1 < 0 ) và giá trị dương (+ 1.000) , lớn hơn không gấp cả ngàn lần, vậy mà tại sao khi tôi lấy giá trị (1.000) to lớn và mạnh khoẻ mang tính cách chủ nợ ấy, đem nhân cho giá trị (-1) trong ốm yếu và thiếu nợ ấy, thì kết quả cái anh chủ nợ to lớn ấy lại biến thành anh ốm yếu và lại mang nợ đến âm (- 1.000 < 0) , thì chẳng một nhà toán học nào đủ khả năng trả lời được câu hỏi tưởng chừng thật đơn giản đó .

4/ Như chúng ta điều biết toán học bắt chúng ta phải học và phải hiểu các giá trị dương (+) , luôn lớn hơn các giá trị âm (-) . Vậy mà khi tôi đưa ra câu hỏi là các bạn có thể chứng minh được giá trị ( +3 > -3 ) bao nhiêu? Thì cũng không một nhà toán học nào đủ khả năng chứng minh được ( + 3 > - 3 ) là bao nhiêu? Vậy mà trải qua bao nhiêu thế kỷ , nhân loại cứ phải học và phải hiểu cái “Nền tảng toán học” mang nặng tính trừu tượng và phi thực tế như vậy, thì quả là chuyện lạ khó tin nhưng có thật 100% phải không các bạn?

Tại sao lại có những sự bế tắc của toán học , trước những câu hỏi rất toán học và rất đơn giản như vậy ? theo tôi do toán học đã “Sai lầm” từ những lập luận bạn đầu, mà điển hình là bắt nguồn từ hai bài toán cơ bản mà tôi đưa ra ở phần trên . Đồng thời cũng do bắt nguồn từ cách “so sánh” giữa hai giá trị dương(+) và âm(-) với nhau , nhưng lúc nào cũng cho các giá trị dương(+) , luôn lớn hơn giá trị âm(-) ví dụ cụ thể như :

( + 3 > - 3 ) ; ( + 1 > - 100 ) ; ( - 1 > - 10 ) ………..v…v……….

B / HƯỚNG GIẢI QUYẾT

Đứng trước một “ Nền tảng toán học cũ ” mang nặng tính trừu tượng , phi thực tế , đồng thời bị bế tắc bởi những câu hỏi thật đơn giản , thật cơ bản mà tôi vừa nêu trên . Tôi xin được đưa ra hướng giải quyết mới , nhầm cũng cố lại những quan niệm lệch lạc của “ Nền tảng toán học cũ ” , luôn cho rằng toán học là môn học mang nặng tính trứu tượng , xa rời tự nhiên và thực tế . Theo tôi một “Nền tảng toán học lành mạnh và đúng đắn” , thì nền tảng toán học đó phải mang những yếu tố và tính chất thể hiện đúng với “ tự nhiên và thực tế ” như sau :

1/ Trong tự nhiên cũng như trong thực tế , không có bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn không (< 0) , thì trong toán học cũng không được thể hiện bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn không (< 0) , kể cả khi các giá trị đó mang phép toán trừ (-) { Hay còn gọi là giá trị âm(-) }

Ví dụ :

- 1 , - 2 , -3 , - 4 , - 5 , ….v..v……Chúng ta cũng không được lập luận và cho rằng :

0 > - 1 > - 2 > - 3 > - 4 >………………..> -

Tại sao tôi lại khẳng định như trên, bởi vì qua phần lý giải trên , tôi đã chỉ ra những “ Điểm sai cơ bản ” của toán học . Bây giờ tôi xin được phân tích và lý giải theo sự hiểu biết của riêng cá nhân về các giá trị tự nhiên như sau:

Theo tôi trong tự nhiên có “ N ” chiều, thì trong toán học cũng có “ N ” phép toán , thì giữa toán học và tự nhiên mới có sự tương quan mật thiết lẫn nhau . Vì toán học là công cụ do con người tạo ra , dùng để giải thích tự nhiên . Do đó toán học phải dựa vào tự nhiên và lấy tự nhiên làm nền tảng, để xây dựng nên toán học , thì toán học mới được đơn giản và chính xác , không bắt chúng ta phải học và hiểu toán học một cách “ trừu tượng xa rời tự nhiên và thực tế ” .

Vậy mà các Bậc tiền bối của chúng ta ngày xưa, khi xây dựng nên toán học , do chưa đủ khả năng hiểu rõ tự nhiên , kể cả con số không(0) , nên khi vận dụng các số tự nhiên vào trong toán học , lại làm cho nhân loại hiểu “sai lệch” về các số tự nhiên đó , Bây giờ tôi xin được hiệu chỉnh lại các số tự nhiên trên và trả chúng về cho đúng thực tế hơn.

Thực ra theo tôi trong tự nhiên , chỉ tồn tại duy nhất hai số tự nhiên là không (0) và một(1), [nói nôm na là trong tự nhiên chỉ có hai từ “không(0) và có”, “không (0)” để chỉ số (0) , là không tồn tại hay là không có gì và “có” để chỉ sự hiện hữu là số (1)].Các bạn hảy nhìn vào dải số tự nhiên, ở đây tôi xin mượn tạm hàng số tự nhiên, mà chúng ta vẫn thường dùng, là bên phải số không (0) và bên trái số không (0). Chứ thực tế trong toán học , tồn tại tới “N” dải số tự nhiên , bao quanh con số không (0) ở tâm điểm, luôn luôn mang giá trị nhỏ nhất và được thể hiện như sau:

….v…v…5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5….. v….v

Để cụ thể hơn và đúng với tự nhiên, thì các số tự nhiên trên sẽ được thể hiện như sau:

…v..v…1111111111111110111111111111111…v..v…..

Chúng ta nhận thấy ngoài các giá trị (0) và (1) ra, chúng chẳng mang một ý nghỉa nào khác, ngoài ý nghĩa lúc nào con số (0) cũng nằm ở tâm điểm và là con số nhỏ nhất, đông thời là số xuất phát. Đó mới thực sự là các số tự nhiên thuần tuý, đúng với “ Thuyết hình thành nên Vũ trụ” mà tôi đưa ra, đồng thời cũng đúng với số “ nhị phân” mà lập trình máy tính chúng ta đang sử dụng. Bây giờ tôi xin phân dải số trên thành từng nhóm bằng dấu phẩy (,) như sau :

..v…v.., 11111 , 1111 , 111 , 11 , 1 , 0 , 1 , 1 1, 111 , 1111 , 11111 ,,…v…v….

Có phân ra như vậy ta dễ nhận thấy dải số trên, chúng chẳng mang một giá trị âm (-), hoặc dương (+) nào. Mà chúng ta nhận thấy càng đi xa số không (0), các nhóm số càng tăng giá trị lớn dần. Bây giờ chúng ta gộp các số đó lại theo từng nhóm,ta sẽ được dải các số tự nhiên như sau:

…….v….v….., 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5….v….v

Lúc đó chúng chỉ đơn thuần là các số tự nhiên mang giá trị lớn hơn không(0) , mà chúng ta gọi nôm na là các “ số nguyên ” , chứ chúng chưa mang bất cứ một phép toán (+) hoặc trừ (-) nào . Nghĩa là trong tự nhiên chỉ tồn tại các giá trị lớn hơn không (> 0), chứ tự nhiên không tồn tại các số tự nhiên âm(-) và nhỏ hơn không( - < 0 ) như từ nào đến giờ nhân loại vẫn lầm tưởng và gán cho các số tự nhiên đó các giá trị âm(-) và bảo là chúng nhỏ hơn không( - < 0) .Vì vậy theo tôi trong tự nhiên cũng như trong toán học số không(0) , là số “mang giá trị nhỏ nhất tuyệt đối” .

Các bạn hảy xem dải số sau 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .Các bạn có nhận thấy các số tự nhiên đó dù nằm bên trái , hoặc bên phải số không(0) , điều mang giá trị lớn hơn không(0) . Các số tự nhiên đó ngoài giá trị lớn hơn không(0) , chúng còn mang thêm đặc tính là , càng đi xa số không(0) chúng mang giá trị càng lớn , chứ không còn mang giá trị nào khác , kể cả các giá trị âm(-),hoặc dương(+).

Nếu ta dùng phép so sánh lớn hơn (>) , hoặc nhỏ hơn (<) , dải số trên sẽ được thể hiện như sau:

+ >….………..5 > 4 > 3 > 2 > 1 > 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 ……………….< +

Chúng ta nhận thấy trong dải số đó lúc nào số không(0), cũng nằm ở tâm điểm và luôn là số nhỏ nhất .

Cũng dải số trên khi tôi gán dấu (+) vào các số tự nhiên đó,thì lúc đó tôi đả "áp đặt", cho các số tự nhiên, đó phép toán cộng(+) , lúc đó dải số trên sẽ là:

+ >………..+ 5 > + 4 > + 3 > + 2 > + 1 > 0 < + 1 < + 2 < + 3 < + 4 < + 5………< +

Bây giờ cũng dải số như trên tôi gán dấu (-),vào các số tự nhiên đó , thì lúc đó tôi đã áp đặt,cho các số tự nhiên đó các phép toán trừ(-) . Ở đây tôi xin được nhấn mạnh từ " áp đặt phép toán trừ(-) ", để các bạn

dễ hiểu , lúc đó dải số trên sẽ được thể hiện như sau :

> ……………- 5 > - 4 > - 3 > - 2 > - 1 > 0 < - 1 < - 2 < - 3 < - 4 < - 5……………< -

Chúng ta vẫn nhận thấy trong dải số trên, số không(0) luôn nằm ở tâm điểm và luôn là số nhỏ nhất . Nghĩa là theo tôi, trong toán học, sẽ không có các số tự nhiên mang giá trị âm(-) nhỏ hơn không( - < 0 ) , hay dương(+) lớn hơn không( + > 0 ) , mà chỉ tồn tại các số tự nhiên mang các phép toán cộng(+) , hoặc trừ(-),mà thôi

2/ Trong tự nhiên cũng như trong thực tế , mọi vấn đề điều bắt nguồn từ con số không (0) , thì trong toán học chúng ta cũng phải lấy giá trị không (0) , làm điểm xuất phát cho mọi vấn đề và cũng là tâm điểm cho mọi hệ toạ độ , hay trong các phép so sánh . Chứ chúng ta không được lấy hoặc chọn các giá trị dương vô cực ( + ) ,hay âm vô cực(-) làm điểm xuất phát , cũng như làm điểm chuẩn trong các phép so sánh như “ Nền tảng toán học cũ ” vẫn hay dùng như vậy .

Từ cách luận giải trên , chúng ta có thể biểu diễn tập các số tự nhiên và biểu đồ toán học như sau:

I/ Tập các số tự nhiên và biểu đồ toán học :

1/ Tập các số tự nhiên :

Như tôi đã trình bày ở phần trên các số tự nhiên bao gồm :

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ……………v..v………………….

Chúng chỉ là các giá trị tự nhiên , do chúng ta đặt ra dùng làm số đếm từ nhỏ đến lớn , ngoài ra chúng chẳng mang bất cứ một ý nghĩa nào khác , nên tôi tạm gọi các số tự nhiên đó là các “ giá trị độc lập ” và được ký hiệu là N .

N : Tập các số tự nhiên

Tương tự các phép toán , cộng (+) , trừ (-) , nhân (x) , chia ( / ) …….v..v….. , chúng chỉ đơn thuần là các phép toán , cũng do chúng ta đặt ra với mục đích dùng để tính toán , ngoài ra chúng cũng chẳng mang bất cứ một ý nghĩa nào khác , nên tôi cũng tạm gọi các phép toán riêng lẻ đó là các “ phép toán độc lập ” .

Bây giờ nếu trường hợp , tôi kết hợp các giá trị tự nhiên và các phép toán đó lại với nhau , như tôi đã trình bày ở phần trên , lúc đó các số tự nhiên đó sẽ trở thành các {“ giá trị toán học ” , là sự kết hợp giữa các số tự nhiên với các phép toán lại với nhau} . Có phân biệt một cách rạch ròi và cụ thể như vậy , thì chúng ta có thể kết hợp giữa các số tự nhiên với bất kỳ phép toán nào cũng được , tùy theo yêu câu toán học đặt ra , mà chúng ta có các tập số tự nhiên , mang các phép toán khác nhau như sau :

* Kết hợp với phép toán cộng (+) chúng ta sẽ được tập các số tự nhiên mang phép toán cộng :

0 , + 1 , + 2 , + 3 , + 4 , + 5 , + 6 , + 7 ,……………v..v…………..

Nếu ta gọi các giá trị tự nhiên bao gồm số không(0) và các số mang phép toán cộng(+) , đồng thời nếu ta thừa nhận (x , y) là hai số tự nhiên bất kì thì ta luôn có hoặc : x = y ; Hoặc : x < y ; Hoặc : x > y

Vì vậy tập hợp các số tự nhiên gồm số không(0) và các số tự nhiên mang phép toán cộng(+) , được gọi là tập các phép toán cộng(+) , được ký hiệu là N+ .

N+ : Tập các số tự nhiên mang phép toán cộng(+)

* Kết hợp với phép toán trừ (-) chúng ta sẽ được tập các số tự nhiên mang phép toán trừ :

0 , - 1 , - 2 , - 3 , - 4 , - 5 , - 6 , - 7 , ………………..v..v………….

Nếu ta gọi các giá trị tự nhiên bao gồm số không(0) và các số mang phép toán trừ(-) , đồng thời nếu ta thừa nhận (x , y) là hai số tự nhiên bất kì thì ta luôn có hoặc : x = y ; Hoặc : x < y ; Hoặc : x > y

Vì vậy tập hợp các số tự nhiên gồm số không(0) và các số tự nhiên mang phép toán trừ(-) , được gọi là tập các phép toán trừ(-) , được ký hiệu là N- .

N- : Tập các số tự nhiên mang phép toán trừ(-)

* Nếu ta quy ước Z là tập các số nguyên bao gồm tập các số tự nhiên mang phép toán cộng(+) và phép toán trừ(-) ,ta sẽ có tập:

Z = N₊

Z : tập các số nguyên { …………, -4 , -3, -2 , -1 ,0 , +1 ,+2 ,+3 ,+4 ,………}

* Tương tự nếu ta gọi R là tập hợp các số thực , bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ , mang các phép cộng(+) , hay mang các phép toán trừ(-) , được thể hiện như sau :

a/ Số hửu tỉ :

Mọi số hữu tỉ , là số có thể viết dưới dạng một số thập phân hữu hạn , hay vô hạn tuần hoàn . Ngược lại , mọi số thập phân hữu hạn , hay vô hạn tuần hoàn đều là một số hữu tỉ .

Ví dụ :

1/5 = 0,2 ; 1/6 = 0,1666666…= 0,1(6) ; 1/7 = 0,142857142857 ….= 0,(142857)

1/8 = 0,125 ; 1/11 = 0,09090909…..= 0,(09)

b/ Số vô tỉ :

Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn .

Ví dụ :

= 1,414213562….; = 3,1415926535897……

Nghĩa là nếu ta thừa nhận với hai số thực bất kì ( x , y ta luôn có hoặc x = y ; hoặc x < y ; hoặc x > y )

Tập hợp các số thực gồm số không(0) và các số thực mang phép toán cộng(+) , được gọi là tập các số thực mang phép toán cộng(+) , được ký hiệu là :

R+ ( Tập các số thực mang phép toán cộng )

Tập hợp các số thực gồm số không(0) và các số thực mang phép toán trừ(-) , được gọi là tập các số thực mang phép toán trừ(-) , được ký hiệu là

R- ( Tập các số thực mang phép toán trừ )

Vậy tập các số thực ( R ) sẽ được thể hiện:

R = R+ R-

Để tiện lợi hơn trong toán học , sau này tôi sẽ dùng quy ước và ký hiệu( r+ và r- ) , trong đó :

r+ { là tập các số thực , bao gồm các giá trị mang phép toán cộng(+) > 0 , không chứa giá trị không(0) }

r- { là tập các số thực , bao gồm các giá trị mang phép toán trừ(-) > 0 , không chứa giá trị không(0) }

Trường hợp các số tự nhiên :

* Kết hợp với phép toán nhân (x) chúng sẽ là :

0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , ……………..v..v………….

* Kết hợp với phép toán chia ( / ) chúng sẽ là :

0 , / 1 , / 2 , / 3 , / 4 , / 5 , / 6 , / 7 ,………………….v...v………….

Qua phần trình bày một cách cụ thể ở phần kết hợp giữa các phép toán với các giá trị tự nhiên , là tôi muốn chứng minh cho toàn thể các nhà toán học trên Thế giới thấy rằng , các giá trị được kết hợp ở trên là bao gồm giữa các phép toán và các số tự nhiên . Nghĩa là các số tự nhiên đó đã được chúng ta đã “ áp đặt ” các phép toán lên chúng , nên chúng ta không thể cho rằng , các số tự nhiên mang các phép toán trừ (-) , là các giá trị “Âm” và “ gán ” cho chúng là các giá trị nhỏ hơn không ( < 0 ) , như “ Nền tảng toán học cũ ” đã quy ước và bắt buộc chúng ta phải chấp nhận một cách “ sai lầm ” thật nghiêm trọng như vậy .

Vì vậy khi cần sử dụng các giá trị tự nhiên mang các phép tính, chúng ta phải đọc và phải hiểu rằng chúng là các giá trị mang các phép toán, mà bản thân chúng đã được chúng ta gán cho phép toán đó , ví dụ như :

( + 1 ) chúng ta phải đọc và hiểu đó là cộng +1 > 0

( - 1 ) chúng ta phải đọc và hiểu đó là trừ -1 > 0

( x 1 ) chúng ta phải đọc và hiểu đó là nhân x 1 > 0

( / 1 ) chúng ta phải đọc và hiểu đó là chia /1 > 0

Có phân chia một cách cụ thể , đồng thời hiểu một cách rỏ ràng như vậy , lúc đó chúng ta tha hồ mà áp đặt các phép toán lên các số tự nhiên , đồng thời chúng ta có thể tiến hành kết hợp các phép toán đó lại với nhau , một cách dễ dàng và thoải mái , tùy theo yêu cầu toán học do chúng ta đặt ra , mà không làm mất đi giá trị thực của chúng, nên chúng ta không cần dùng đến cái “ Giá trị tuyệt đối(I I) ” , vừa khó hiểu vừa phi thực tế , mang nặng tính “ phép thuật biến hóa ” , như từ nào đến giờ “ Nền tảng toán học cũ ” vẫn thường sử dụng , có thể biến các giá trị đang { âm nhỏ hơn không ( - < 0 ) }, thành các giá trị { dương lớn hơn không ( + > 0 ) } , thật là khó hiểu , vậy mà trải qua bao thế kỷ nhân loại vẫn phải học và phải hiểu như vậy thì quả là chuyện lạ .

Từ cách kết hợp giữa các giá trị tự nhiên , với các phép toán lại với nhau , ta sẽ có được biểu đồ toán học như sau :

2/Biểu đồ toán học kết hợp các số tự nhiên với phép toán cộng (+) , trừ (-)

Nhin vào biểu đồ toán học trên , chúng ta dễ dàng nhận thấy hai trục của biểu đồ , cũng giống như hệ tọa độ Decartes , là bao gồm trục dọc và trục ngang.

· Trục dọc tương ứng với “ trục tung ”

Chúng ta thấy các giá trị cộng(+) , trừ(-) , nằm trên trục dọc hay còn gọi là (trục tung) :

Nếu các giá trị nằm ở phía trên số không(0) , mang phép toán cộng(+)

Ngược lại những giá trị nằm phía dưới số không(0) , sẽ mang các phép toán trừ(-) .

· Trục ngang tương ứng với trục (hoành) :

Nếu các giá trị nằm bên tay phải của số không(0) , mang các phép toán cộng(+)

Ngược lại những giá trị nằm bên tay trái số không , sẽ mang các phép toán trừ(-) .

Nghĩa là trong biểu đồ toán học , nếu ta chọn chiều này là phép toán cộng(+) , thì chiều ngược lại của phép toán cộng(+) , sẽ là phép toán trừ(-). Đồng thời con số không(0) , lúc nào cũng nằm giữa hai phép toán , luôn là con số nhỏ nhất .

Từ biểu đồ kết hợp giữa các phép toán , với các giá trị tự nhiên trên , tôi xin được rút ra những kết luận sau:

a) Kết luận 1 :

chúng ta dễ dàng nhận thấy các giá trị tự nhiên , lúc này không còn là các số tự nhiên “ Độc lập ” , mà chúng đã trở thành “ các giá trị toán học ” . Vì vậy chúng ta không được xem chúng là các giá trị tự nhiên thông thường , tôi xin được đưa ra những ví dụ và chứng minh cụ thể cho những luận điểm trên như sau :

1) Ví dụ 1 :

Trường hợp có hai bạn A và bạn B , do bạn A không có tiền nên phải mượn bạn B ( 10đ ) , để nhớ số tiền mượn đó , bạn A có thể ghi lại trong sổ của mình theo hai cách như sau :

* Cách 1 : Thiếu ( nợ ) bạn B ( 10đ )

* Cách 2 : thể hiện cách ghi bằng toán học là ( - 10đ )

Các bạn có nhận thấy qua hai cách ghi trên (cách 1) là không bằng toán học , (cách 2) là bằng toán học . Ở đây tôi xin được phân tích một cách cụ thể , để các bạn không bị nhầm lẫn số tiền thiếu nợ , nhỏ hơn không(nợ < 0) , như từ nào đến giờ “ Nền tảng toán học cũ” , đã bắt chúng ta học và hiểu một cách “Sai lầm và lệch lạc ” như vậy . Các bạn hãy nhìn vào cụm từ {thiếu nợ ( 10đ )} , tôi sẽ chia cụm từ đó ra thành hai phần riêng lẻ như sau :

* thiếu nợ

* (10đ)

Các bạn nhận thấy có phân biệt ra một cách cụ thể như vậy, thì giá trị (10đ) mà bạn A mượn luôn lớn hơn không , nghĩa là (10đ mượn > 0) . Vì vậy chúng ta không thể nào dùng cách ghi toán học nào, hay phép thuật nào, để biến một giá trị tiền tệ (10đ > 0) , trở thành giá trị tiền tệ (10đ < 0) , kể cả khi chúng ta gán cho giá trị (10đ) đó là từ “nợ” , hay phép toán trừ(-) , như “ Nền tảng toán học cũ ” , đã quy ước và bắt chúng ta phải học và phải hiểu như vậy . Nếu ghi theo cách 1 , thì sau này khi bạn A có tiền là ( 20đ ) trả nợ cho bạn B, ta chỉ cần thực hiện phép toán trừ (-) . Vừa đơn giản dễ hiểu , đồng thời đúng với tinh thần toán học và giá trị (10đ > 0),nghĩa là lấy :

20đ – 10đ = 10đ

Nếu ghi theo cách 2 bằng toán học , lúc đó chúng ta đã áp đặt cho số tiền thiếu của chúng ta phép toán trừ

(-) trước rồi . Nghĩa là cụm từ trừ ( - 10đ ) cũng được tách ra thành riêng lẻ như sau :

* phép toán trừ (-)

* (10đ)

Có phân biệt một cách cụ thể như vậy chúng ta mới dễ dàng nhận thấy :

1) là phép toán trừ (-) và

2) vẫn là giá trị (10đ > 0) .

Do đó chúng ta không thể nào ghép cái giá trị (10đ > 0) đang lớn hơn không đó , cho bất kỳ một phép toán nào , kể cả phép toán trừ (-) , để biến thành giá trị âm (-) nhỏ hơn không , nghĩa là (- 10đ < 0) , một cách “ Sai lầm và lệch lạc ” như vậy . Vì vậy sau này khi có tiền trả nợ cho bạn B , bạn A chỉ cần lấy

( 20đ ) ghép với số tiền bị trừ trước là ( - 10đ ) , nghĩa là chúng ta lấy : 20đ – 10đ = 10đ

Đấy các bạn có nhận thấy , dù cho tôi thể hiện bằng cách 1, hoặc cách 2 , thì phép toán thực hiện khi trả nợ,

cũng đều áp dụng phép toán trừ (-) duy nhất . Đồng thời giá trị (10đ) , lúc nào cũng độc lập với phép toán trừ (-), nên lúc nào cũng lớn hơn không ( > 0 ) , mặc dù giá trị 10đ đó được chúng ta gán cho chúng phép toán trừ (-) . Cách làm đó vừa đơn giản vừa dễ hiểu , mới thể hiện đúng với tinh thần toán học lẫn thực tế .

Chứ chúng ta không thể nào biến bài toán trừ (-) vừa đơn giản , vừa dễ hiểu như vậy , thành một bài toán cộng (+) cho giá trị âm (- < 0) và nhân(x) dấu như sau : 20đ + (- 10đ) = 10đ

Với cách thể hiện của bài toán trên vừa phi thực tế vừa sai với tinh thần toán học , tại sao tôi lại nói như vậy ? Tôi xin chứng minh cho các bạn thấy điểm sai cơ bản của cách áp dụng trên như sau :

Chứng minh 1 :

Các bạn hảy nhìn vào hai bài toán sau :

20đ - 10đ = 10đ (1)

20đ + (- 10đ) = 10đ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra :

- 10đ = + (- 10đ)

Chứng minh 2 :

20đ + 10đ = 30đ (3)

20đ – (- 10đ) = 30đ (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra : + 10đ = - (- 10đ)

Các bạn có nhận thấy sự “ Sai lầm ” một cách trầm trọng của “Nền tảng toán học cũ ” khi sử dụng giá trị âm (-) .Nghĩa là từ một bài toán cộng cho giá trị 10đ > 0 của bài toán (3) vậy mà chúng ta có thể biến cái giá trị (10đ > 0) thành cái giá trị (- 10đ < 0) trong bài toán (4) , đồng thời từ bài toán (3) là bài toán cộng (+) , sang bài toán (4) thành bài toán trừ (-) . Thì quả là trải qua bao nhiêu thế kỷ nhân loại được học “ Phép thuật biến hóa ” hơn là học toán .

* Chú thích : Phương pháp nhân(x) và chia(/) dấu của các phép toán cộng(+) và trừ(-) , chỉ được áp dụng để giải các phương trình toán học , chứa một hoặc nhiều ẩn số , sẽ được tôi trình bày rõ hơn ở phần sau :

b) Kết luận 2 :

Chúng ta nhận thấy con số không lúc nào cũng nằm tại tâm điểm của biểu đồ và luôn là giá trị “ Nhỏ nhất ” , đồng thời con số không (0) , không thể hiện bất kỳ một phép toán cộng (+) hay trừ (-) nào .

* Từ việc tách rời các phép toán và các giá trị tự nhiên như trên , chúng ta có thể kết hợp các phép toán lại với nhau trên mọi hình thức , tùy theo yêu cầu toán học mà chúng ta đưa ra , nhầm giải quyết các vấn đề toán học cao cấp hơn . Mà một trong các phép toán khó lý giải là dạng số phức (hay còn gọi là số ảo) .

Do chúng ta đã mắc phải sai lầm từ đầu là sử dụng giá trị âm (-) , nên chúng ta bị bế tắc ngay khi gặp phương trình x² + 1 = 0 ; Mà kết quả cho ra là x² = - 1 < 0 ; là một giá trị âm (-) , không thể khai căn được ,nên phương trình x² = - 1 < 0 không có nghiệm . Vì vậy phải trải qua quá trình lâu dài sau này chúng ta mới đưa chúng vào toán học và quy ước chúng là “ số phức ” hay là “ số ảo ” . Vấn đề này tôi sẽ trình bày rỏ hơn trong phần “ Số Phức ” .

Nhưng nếu từ đầu chúng ta phân biệt một cách rõ ràng , giữa các giá trị tự nhiên và các phép toán , chúng ta không sử dụng các giá trị âm ( - < 0 ) , mang nặng tính trừu tượng và phi thực tế , thì chúng ta sẽ không bị bế tắc và dễ dàng sử dụng tất cả các quy ước toán học , mà không gặp bất kỳ trở ngại nào , kể cả khi chúng ta quy ước i⁴ là nghiệm của phương trình i⁴ + 1 = 0 ; Chẳng hạn .

Sau đây tôi xin “Trình bày và khai triển” , những “Quan điểm toán học mới” , bằng các định nghĩa và định lý . Nhưng trước khi đưa ra những định nghĩa và định lý , tôi xin đưa một“ Tiên đề ” thật tối quan trọng , dùng làm kim chỉ nam cho toàn bộ “Quan điểm toán học mới” do tôi đưa ra như sau :

C / TIÊN ĐỀ

Trong tự nhiên và trong thực tế , không có bất kỳ cái gì , hay bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn không(0) , thì trong toán học chúng ta cũng không được dùng bất kỳ quy ước toán học nào , để thể hiện giá trị nhỏ hơn không(0) .

D / TRIỂN KHAI QUAN ĐIỂM TOÁN HỌC MỚI BẰNG CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ

· Triển khai :

Tôi xin được triển khai các định nghĩa , cũng như các định lý đó vào trong toán học có phần cải biên như sau :

Như chúng ta đều biết rằng trong tự nhiên có tính “ âm ,dương ”, nghĩa là có “ giống đực ” thì cũng phải có “ giống cái ” . Vì vậy tương ứng trong toán học , cũng tồn tại hai phép toán cộng (+) và trừ (-) , dùng để áp dụng trong tính toán , đồng thời tương ứng với tính “ âm , dương ” trong tự nhiên , thể hiện quy luật “ bù , trừ ” của vạn vật .

Hai phép toán cộng (+) và trừ (-) đó , lại là “tiền đề và nền tảng” cho toàn bộ các phép toán sau này . Đơn cử là từ hai phép toán cộng (+) , trừ (-) , chúng ta suy ra được hai phép toán nhân ( x ) và chia ( / ) , cũng như toàn bộ các phép toán mà hiện nay chúng ta đang sử dụng .

Chúng ta dễ dàng nhận thấy các phép toán cộng (+) , trừ (-) , nhân ( x ) chia ( / ) ……v.v…. , đó chỉ đơn thuần là những phép toán do chúng ta đặt ra, để dùng lám công cụ tính toán thực tiễn , áp dụng trong đời sống hàng ngày . Cũng như dùng toán học làm công cụ , áp dụng vào các môn khoa học , để giải thích và khám phá tự nhiên .Mà một khi toán học được dùng để áp dụng vào thực tiễn và khám phá tự nhiên, thì chúng ta không thể nào dùng toán học một cách “ Sai lệch ” , mang nặng tính trừu tượng và phi thực tế , để giải thích cái thực tế , thì theo tôi không thể chấp nhận được .

Từ hai phép toán cộng (+) trừ (-) là nền tảng và căn bản của toán học , chúng ta suy ra được các phép toán nhân (x) và chia ( / ) , Từ các phép toán nhân (x) và chia ( / ) , chúng ta có thể áp dụng ngược lại dùng để nhân (x) và chia dấu của hai phép toán cộng (+) và trừ (-) .

Đồng thời từ các phép toán cộng(+) , trừ(-) nhân(x) , chia(/) đó , chúng ta có thể xây dựng nhiều phép toán khác một cách “ độc lập ” , tùy theo yêu cầu toán học do chúng ta nghĩ ra , chẳng hạn như các phép toán {lũy thừa ,đạo hàm , tích phân bất định hay tích phân xác định …v..v…. }, mà hiện nay “ Nền tảng toán học cũ ” vẫn thường dùng .

Từ hai phép toán cộng (+) , trừ (-) , nhân (x) chia ( / ) ,chúng ta có thể kết hợp tạo ra các phép toán nhân (x) và chia ( / ) dấu ngược lại , của hai phép toán cộng (+) , trừ (-) như sau :

1) Phép nhân ( x ) dấu

( + ) x ( + ) = +

( + ) x ( - ) = ( - ) x ( + ) = -

( - ) x ( - ) = +

2) Phép chia ( / ) dấu

( + ) / ( + ) = +

( + ) / ( - ) = ( - ) / ( + ) = -

( - ) / ( - ) = +

Từ các phép nhân (x) và chia ( / ) dấu trên , các nhà toán học tiên phong , đã dùng các phép nhân(x) và chia dấu(/) của các phép toán cộng(+) , trừ(-) , nhầm áp dụng để giải các phương trình toán học từ bậc nhất và bậc hai trở lên , chứa từ một hoặc nhiều ẩn số , cho đến các phương trình toán học cao cấp hơn .Nhưng các nhà toán học đi tiên phong khi đó , đã mắc phải một “ Sai lầm thật nghiêm trọng ”, khi { biến các phép toán trừ(-) trong toán học , thành các giá trị âm(-) và gán cho các giá trị âm đó nhỏ hơn không(- < 0) } . Đồng thời cũng từ sự sai lầm đó , mà các nhà toán học đã biến cái “ Nền tảng toán học ” , từ cụ thể , thực tế , đúng với tính tự nhiên, trở thành một “ Nền tảng toán học ” , mang nặng tính trừu tượng và phi thực tế , đi ngược lại với tự nhiên . Vậy mà lúc nào các nhà toán học cũng cho rằng :

Toán học là một môn học , chỉ đạo cho toàn thể các môn khoa học , từ tự nhiên , cho đến thực tế , nào là toán học là một môn học mang tính “ chính xác , lôgic ” , vân vân và vân vân .

Nhưng các nhà toán học tiền bối đó đâu hiểu rằng , cái nền tảng toán học mà các Ngài đưa ra , để giải được các bài toán theo ý mình , các Ngài đã phải dùng đến hàng loạt các tiên đề mang tính “ Phép thuật biến hóa" . Nghĩa là các Ngài bắt nhân loại , muốn giải được các phương trình do các Ngài đưa ra , phải chấp nhận những “ công thức ” , hoặc các “ Tiên đề ” mang tính “ phép thuật ” của các Ngài , không cần chứng minh , thì mới giải được . Thì quả là nhân loại được học “ Toán học ” thì ít , mà học “ phép thuật biến hóa ” thì nhiều . Tôi xin được chứng minh cho các bạn thấy , tính phép thuật của toán học bằng một ví dụ thật cụ thể sau: Trong các bài “ Toán lý ” , khi giải ra vận tốc mang giá trị âm ,V = - 30 m/s < 0 , mà chúng ta đều biết trong tự nhiên và trong thực tế , làm gì có chiếc xe , hay bất kỳ một vật gì , di chuyển với cái vận tốc âm(- < 0) .Vì vậy để hợp thức hóa cái giá trị trừu tượng và phi thực tế của toán học , các nhà toán học mới đẻ ra cái phép thuật biến hóa là “ giá trị tuyệt đối ” , chỉ cần đưa hai cái gạch song song(I I) , là chúng ta có thể biến cái vận tốcV = I - 30 m/s I = 30 m/s ; Trừu tượng phi thực tế đó thành cái thực tế , thì quả là các Bậc tiền bối của chúng ta sáng tạo ra “ Toán học ” thì ít , mà tạo ra “ Phép thuật , biến hóa ”thì nhiều .

Để cụ thể tôi sẽ chứng minh cho các bạn rõ hơn trong các định nghĩa và các định lý sau :

I / Định nghĩa 1 :

Trong tự nhiên và trong thực tế không có giá trị nào nhỏ hơn không (< 0), thì trong toán học chúng ta không được lập luận , hay diễn đạt bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn không (< 0), kể cả các giá trị mang phép toán trừ (-) .

1 / Chứng minh 1:

Trường hợp bạn A có (3đồng) và bạn B có (2đồng) , nghĩa là bạn A có nhiều tiền hơn bạn B .Nếu muốn biết giữa hai bạn A và B bạn nào nhiều tiền hơn bạn nào ta chỉ cần lấy

3đồng - 2đồng = 1đồng

Nghĩa là trong trường hợp so sánh trên , thì bạn A có nhiều tiền hơn bạn B là (1đồng) , chứ chúng ta không thể nào lấy

2đồng – 3đồng = - 1đồng

Thì chúng ta không thể nào biết được giữa hai bạn A và bạn B ai có nhiều tiền hơn ai .

Trở lại phép so sánh số tiền giữa hai bạn A và bạn B ta nhận thấy 3đ > 2đồng

Bây giờ bạn A và bạn B cùng xài (tiêu) mất 5đồng , thì lúc đó bất đẳng thức trên sẽ được thể hiện như sau :

3đ – 5đ = -2đ ; Tài sản của bạn A bị trừ (- 2đ)

2đ – 5đ = - 3đ ; Tài sản của bạn B bị trừ ( -3đ)

Hỏi vậy giữa số tiền bị trừ (-) hay (thâm hụt) giữa hai bạn A và bạn B, bạn nào bị trừ nhiều hơn ? Rõ ràng nếu xét về khâu thâm hụt hay còn gọi là thiếu nợ, thì bạn A bị trừ (- 2đ) còn bạn B bị trừ (- 3đ) ; Do bạn B bị trừ (- 3đ) nhiều hơn bạn A bị trừ (- 2đ), nên ta suy ra - 3đ > - 2đ

Nghĩa là theo “Quan niệm toán mới ”, thì quan hệ lớn hơn (>) và nhỏ hơn (<) , giữa số tiền hai bạn A và bạn B, được thể hiện đúng theo tinh thần toán học và thực tế theo các hệ quả sau:

Hệ Quả

a/ Trường hợp có tiền, thì bạn A có nhiều tiền hơn bạn B, nên ta suy ra (tiền A có lớn hơn tiền B có), nghĩa là

3đ > 2đ

b/ Trường hợp thiếu nợ, thì bạn B thiếu nợ nhiều hơn bạn A, nên suy ra (tiền thiếu nợ B lớn hơn tiền thiếu nợ A),nghĩa là (- 3đ > - 2đ)

Vì vậy nếu xét về :

* Khâu có tiền, thì giá trị không (0) là giá trị nhỏ nhất

0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 ,…….………….< +

* Khâu thâm hụt, (hay thiếu nợ) thì giá trị không (0) vẫn là giá trị nhỏ nhất

0 < -1 < -2 < -3 < -4 < -5 ……………………< -

Chứ chúng ta không thể nào suy luận theo “ Quan điểm toán cũ “ như sau :

* Trường hợp có tiền:thì bạn A có nhiều tiền hơn bạn B nên (tiền A có > tiền B có) suy ra (3đ > 2đ)

* Trường hợp thiếu nợ: thì bạn A thiếu ít hơn bạn B nên suy ra ( - 2 > -3 ) ; Là sai cả về toán học lẫn thực tế . Do “ Nền tảng toán học cũ ” , luôn lấy giá trị dương(+) , làm “ Nền tảng ” để xét các giá trị âm(-)

2 / Chứng minh 2 :

Từ phương trình x + 1 = 0 . chúng ta chỉ được phép đọc là x cộng (1) bằng không(0) ,nên ta suy ra nghiệm của phương trình đó là x = -1 ; Chúng ta phải đọc là x bằng trừ một . Chứ chúng ta không được đọc và hiểu theo “ Luận điểm toán cũ ” , là x âm một và cho rằng (x = -1 < 0) , là sai với tinh thần toán học lẩn thực tế .

3/ Chứng minh 3 :

Xét bài toán hỗn hợp giữa hai phép toán cộng (+) và trừ (-) lên các giá trị tự nhiên như sau :

40 + 20 – 70 + 30 – 10 + 50 – 60 + 40 + 20 – 70 = - 10

Chúng ta dễ dàng nhận thấy bài toán trên , chỉ đơn thuần là các phép toán cộng(+) và trừ (-) , được thực hiện trên các giá trị tự nhiên bao gồm ( 40 , 20 , 70 , 30 , 10 ,50 , 60 , 40 , 20 , 70).

Tất cả các số tự nhiên đó đều mang giá trị lớn hơn không (> 0) , vì vậy sau khi thực hiện các phép tính cộng (+) và trừ (-) , kết quả sẽ cho ra là (-10) , chúng ta phải đọc và hiểu một cách cụ thể là ( trừ 10 > 0 ) , chứ chúng ta không được đọc là “ âm muời ” , và gán cho giá trị âm đó nhỏ hơn không ( -10 < 0) , như “ Luận điểm toán cũ ” vẫn thừờng đọc và lập luận như vậy .

Từ định nghĩa 1 và hệ quả trên đưa tới định lý sau :

· ĐỊNH LÝ 1 :

Cái không trong tự nhiên và số không (0) trong toán học là một , đồng thời là giá trị “ nhỏ nhất tuyệt đối ” .

II / ĐỊNH NGHĨA 2 :

Trong toán học với hai tập số thực ( R+ và R- ) , đứng riêng lẻ và độc lập , chúng ta không được dùng phép so sánh lớn hơn(>) , hoặc nhỏ hơn(<) , giữa hai giá trị mang hai phép toán cộng ( + ) và trừ với nhau . mà chúng ta chỉ được so sánh các giá trị cộng ( + ) và cộng ( + ) với nhau , hoặc trừ ( - ) và trừ ( - ) với nhau , phép toán nào có giá trị thực lớn , sẽ có giá trị lớn .

1/ Trường hợp muốn so sánh giữa hai giá trị cộng là + 6 và + 3 , giá trị nào lớn hơn ?

Do hai giá trị đó cùng phép toán cộng (+) , nên chúng ta không cần quan tâm và đưa phép toán cộng(+) đó vào trong phép so sánh mà chỉ cần

lấy : 6 – 3 = 3 ; Nên ta suy ra ( + 6 > + 3 ) là 3 đơn vị . Vì trong tập số thực :

R+ { + >………..+ 5 > + 4 > + 3 > + 2 > + 1 > 0 } ; Là tập các số thực mang phép toán cộng(+) .Nếu thể hiện theo ngôn ngữ của phép toán cũ , thì đó là tập các số thực dương(+) .

· Chứng minh :

Như ở phần chứng minh trên , tôi đã chứng minh sự “ Sai lệch ” của “ Toán học cũ ” , bằng hai bài toán sau :

@ Bài toán 1 :

Phép so sánh giữa các giá trị dương ( + ) với nhau : “ Hoàn toàn đúng ” , vì giữa hai người có tiền , chúng ta có thể tiến hành phép so sánh để biết ai có tiền nhiều hơn .

3 > 2 ; 5 > 3 suy ra 3 + 5 > 2 + 3 ; Nghĩa là 8 > 5 ; Đúng không ? từ phép so sánh đó ta có thể suy ra

3 x 5 > 2 x 3 ; Nghĩa là 15 > 6 , phép so sánh đó “ hoàn toàn đúng ” .

@ Bài toán 2 :

Phép so sánh các giá trị âm ( - ) và dương ( + ) , đồng thời lúc nào cũng cho giá trị dương(+) lớn hơn giá trị âm(-): “ Hoàn toàn sai ” , tại sao ? Tại vì khi ta lấy :

3 > - 6 ; 2 > - 3 ; Suy ra 3 + 2 > - 6 + - 3 ; Suy ra + 5 > - 9 ; Đúng không ? Nhưng từ phép so sánh đó ta “ Không thể ” suy ra 3 x 2 > (- 6) x (- 3) , bởi vì kết quả cho ra là (6> 18) lại “ Sai hoàn toàn ”

2/ Trường hợp muốn so sánh giữa hai giá trị mang phép toán trừ( - ) với nhau :

Ví dụ :

là (- 6 và -3) , giá trị nào lớn hơn ?

Chúng ta cũng tiến hành theo phương pháp trên . Do hai giá trị đó cùng phép toán trừ ( - ) , nên chúng ta cũng không cần đưa phép toán trừ(-) đó vào trong phép so sánh , mà chỉ cần lấy : 6 – 3 = 3 ; Do giá trị thực 6 > 3 ; Nên ta suy ra

( - 6 > - 3 ) là 3 đơn vị . với cách so sánh đó cũng thỏa cho phép nhân dấu như sau :

( - 6 > - 3 : - 4 > - 2 ) => ( - 6 x - 4 > - 3 x - 2 ) => ( 24 > 6 ) là hoàn toàn chính xác .

Vì trong tập số thực :

R- { 0 < - 1 < - 2 < - 3 < - 4 < - 5………< - } ; Là tập các số thực mang phép toán trừ(-) .

Nếu thể hiện theo ngôn ngữ của phép toán cũ , thì đó là tập các số thực âm(-) .

· Chứ không như “ Toán học cũ ” luôn cho rằng trong tập số thực :

R- { 0 > - 1 > - 2 > - 3 > - 4 >………………..> - }

Chú thích :

Tập các số thực dương , là tập các số thực mang phép toán cộng(+)

Tập các số thực âm , là tập các số thực mang phép toán trừ(-)

· Nhận xét :

Khi tiến hành so sánh các giá trị mang cùng phép toán giống nhau , chúng ta không cần đưa các phép toán đó vào trong phép so sánh . Đồng thời phép toán dùng để so sánh giữa hai giá trị , để biết giá trị nào lớn hơn giá trị nào , duy nhất chỉ là phép toán trừ (-) mà thôi .

3/ Trường hợp giữa hai giá trị mang hai phép toán khác nhau , như phép toán cộng (+) , thuộc tập số thực R+ và phép toán trừ (-) thuộc tập R- . Do hai tập số thực này đứng riêng lẻ và độc lập với nhau , nên chúng ta không thể thực hiện phép so sánh , để biết giữa hai giá trị đó , giá trị nào lớn hơn giá trị nào , như “ Luận điểm toán cũ ”hay làm đơn cử như sau :

+ 3 > -3 ; + 1 > - 100 ……..v..v ……

Đồng thời lúc nào cũng cho rằng các giá trị dương(+) , luôn lớn hơn các giá trị âm(-)

Chính vì “ Nền tảng toán học cũ ” , sử dụng phép so sánh một cách sai nguyên tắt , từ toán học cho đến tự nhiên , lẫn thực tế như vậy . Nên khi tôi đưa ra câu hỏi thật đơn giản thật cơ bản là (+ 3 > -3 là bao nhiêu ? ) , bằng chính cái nền tảng toán học mà mình đang học , thì không một nhà toán học nào đủ khả năng trả lời được , thì quả là chuyện khó tin nhưng có thật 100% các bạn ạ .

Từ định nghĩa và cách chứng minh trên ta suy ra định lý sau :

· ĐỊNH LÝ 2 :

Trong toán học chúng ta không thể so sánh giữa hai giá trị của phép toán cộng(+) và phép toán trừ(-) với nhau , khi các tập số thực độc lập với nhau.

*Nhưng để tiện lợi hơn trong toán học , chúng ta có thể tiến hành thực hiện phép so sánh giữa hai phép toán cộng(+) , trừ(-) , với nhau trong tập số thực R = R+ R- , qua định nghĩa 3 như sau :

III / ĐỊNH NGHĨA 3 :

Trong tập số thực R = R+ R- , chúng ta có thể tiến hành thực hiện các phép so sánh lớn hơn(>)

, nhỏ hơn(<) , giữa hai phép toán cộng(+) và trừ(-) với nhau , phép toán nào có giá trị thực lớn hơn , thì phép toán đó sẽ lớn hơn , bất kể phép toán đó mang phép toán cộng(+) hay phép toán trừ(-) .

· Chứng minh :

1/ Trong tập số thực R = R+ R- :

Theo “ Luận điểm toán mới ” của tôi thì :

+ >………..+ 5 > + 4 > + 3 > + 2 > + 1 > 0 < - 1 < - 2 < - 3 < - 4 < - 5………< -

Do tập số thực R là tập hợp giữa hai phép toán cộng(+) và trừ(-) , nên trong phép so sánh để tiện lợi trong tính toán , chúng ta có thể tiến hành so sánh giữa các phép toán cộng(+) và trừ(-) với nhau , mà vẫn không làm mất đi ý nghĩa và giá trị của chúng .

Ví dụ :

Chúng ta có thể so sánh giữa hai giá trị +3 và -4 , hoặc -2 và +3, để biết các giá trị nào lớn hơn giá trị nào . Nhìn vào hai giá trị +3 và -4 , do giá trị thực -4 lớn hơn +3 ; -2 nhỏ hơn + 3 , nên chúng ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng toán học như sau:

-4 > +3 ; -2 < +3

Tại sao tôi lại chứng minh và biểu diễn các giá trị cộng(+) , trừ(-) , ngược lại với nền “Tảng toán học cũ ”, tôi xin được lí giải như sau :

*Theo phép toán cũ thì :

+3 > - 4 ; Phép so sánh đó không đúng như tôi đã trình bày trong phần trên . Tôi xin được bổ sung thêm ví dụ thật cụ thể hơn .

Ví dụ :

a/ Bạn A thiếu nợ 4đ ; Nghĩa là tài sản của bạn A bị (- 4) ; Vậy khi bạn A đi làm kiếm được 3đ ; Ghi là +3đ ; Vậy hỏi số tiền mà bạn A thiếu nợ và số tiền mà bạn A kiếm được số tiền nào lớn hơn ?

Theo “ phép toán cũ ” cho rằng , số tiền mà bạn A kiếm được , lớn hơn số tiền mà bạn A thiếu nợ là sai hoàn toàn , từ “ toán học cho đến tự nhiên lẫn thực tế” , tại sao vậy ?

Tại vì nếu cho rằng số tiền kiếm được là 3đ , lớn hơn số tiền thiếu nợ là -4đ , thì khi bạn A lấy 3đ đem trả nợ , thì số tiền kiếm được đó phải còn dư lại . Nghĩa là bạn A phải được thối lại tiền , thì toán học lẫn thực tế mới đúng . Nhưng thực tế thì bạn A chẳng những không được thối lại tiền , mà bạn A vẫn còn thiếu lại (1đ) , vì vậy tài sản của bạn A vẫn còn bị (-1đ) , nghĩa là :

-4đ +3đ = -1đ

Điều đó chứng tỏ “ Toán học cũ ” đã “ sai ” một cách thật cơ bản .

Nếu bạn A nợ (4đ) nghĩa là -4đ ; Khi bạn A kiếm được 5đ , thì lúc đó toán học thể hiện phép so sánh 5 > -4 ; Mới đúng từ “ Toán học , cho đến thực tế ” ,tại sao vậy ?

Tại vì khi bạn A đem 5đ kiếm được trả nợ , thì sẽ trả hết nợ đồng thời được thối lại 1đ .

b/ Trường hợp so sánh số tiền giữa hai bạn A và B , nếu bạn A thiếu nợ (4đ) ; Nghĩa là tài sản của bạn A bị trừ đi (-4đ) . Trong khi đó bạn B có 3đ , vậy hỏi số tiền mà bạn A thiếu nợ và số tiền mà bạn B có được số tiền nào lớn hơn ?

- Tương tự như cách chứng minh trên

* Theo “ phép toán cũ ”

Khi cho rằng số tiền bạn B có lớn hơn số tiền mà bạn A thiếu nợ , nghĩa là :

(+3 > -4) là sai hoàn toàn .

*Theo “ phép toán mới ” Thì

( +3 < -4 )

Nghĩa là số tiền mà bạn A thiếu nợ sẽ lớn hơn số tiền mà bạn B có , thì mới đúng từ toán học , lẫn thực tế . Từ cách so sánh hai giá trị mang phép toán cộng(+) và trừ(-) ở trên , tôi xin rút ra nhận xét như sau :

· Nhận xét :

Khi so sánh giữa hai giá trị mang phép toán cộng(+) và trừ(-) , chúng ta cũng không cần quan tâm đến các phép toán mà các giá trị đó được gán cho . Vì vậy phép toán nào có giá trị thực lớn hơn , thì phép toán đó sẽ lớn hơn

Do đó trong tập số thực :

R = R+ R-

Bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ , mang các phép cộng(+) , thuộc R+ , hay mang các phép toán trừ(-) thuộc R- .

Nếu ta thừa nhận với hai số thực bất kì ( x , y ta luôn có hoặc x = y ; hoặc x < y ; hoặc x > y )

*Đấy là điểm mấu chốt và thật cốt lõi của “ Nền tảng toán học mới ” của tôi đưa ra nhầm áp dụng vào trong phép so sánh lớn hơn( > ) và nhỏ hơn( < ) giữa hai giá trị cộng(+) , trừ(-) ; Hay nói nôm na theo “ Phép toán cũ ” là giữa hai giá trị “ âm(-) , dương(+) ” trong trường số thực R , để biết giá trị nào lớn hơn giá trị nào và lớn hơn bao nhiêu .

Chứ không như “ Nền tảng toán học cũ ” , chỉ dạy và bắt chúng ta phải hiểu các giá trị dương(+) luôn lớn hơn các giá trị âm(-) , mà không dạy lớn hơn bao nhiêu . Chính vì vậy mà khi tôi đưa ra câu hỏi tưởng chừng thật đơn giản là ( +3 > -3 ) bao nhiêu? Thì không một nhà toán học đủ khả năng trả lời , đồng thời chứng minh được bằng chính cái nền tảng toán học mà mình đang học . Thậm chí khi tôi đưa ra giải thưởng (10.000 , hoặc 20.000 usd) , cho bất kỳ nhà toán học nào trả lời và chứng minh được ( +3 > -3 ) bao nhiêu? Thì không một nhà toán học nào chứng minh được , quả là buồn cười khi mà cũng câu hỏi đó , có bạn lại bảo ( +3 > -3 ; Là 3 lần ; 6 lần , thậm chí có bạn lại bảo là 8 hay 9 lần ) , thì quả thật thảm hại và buồn thay cho “ Nền tảng toán học cũ ” các bạn ạ .

Vậy mà các nhà toán học , cứ ngang nhiên hô hào và tiên bố , toán học là một môn học chủ đạo cho các môn khoa học khác . Vì vậy toán học luôn mang tính chính xác và logic cao , thì quả thật là “ khó hiểu cho cái hiểu ngày nay ” phải không các bạn .

* Chính vì “ Nền tảng toán học cũ ” , luôn lấy giá trị dương(+) làm giá trị chuẩn trong phép so sánh với các giá trị âm(-) , nên lúc nào cũng cho các giá trị dương(+) , lớn hơn các giá trị âm(-) . nghĩa là :

+1 > -1.000 ; +3 > -3 ; 0 > -100 ;………………; 0 > - .

Nên dễ bị bế tắc khi gặp các câu hỏi đại loại mà tôi đã đưa ra trong phần trên như sau :

1/ Tại sao khi tôi lấy hai giá trị âm (-) nhỏ hơn không (- < 0) , như hai giá trị

( - 3 < 0) và (- 4 < 0) , nằm bên tay trái của số không(0) , nhân với nhau thì kết quả lại cho ra giá trị dương (+ 12 > 0) ?

2/ Tại sao khi ta lấy giá trị âm(-1 < 0 ) và giá trị dương (+ 1.000 > 0) , vậy mà khi tôi lấy giá trị (+1.000 > 0) lớn hơn không(0) gấp cả ngàn lần , đem nhân cho giá trị (-1) , nhỏ hơn không chỉ có một lần , thì kết quả lại cho ra giá trị âm (- 1.000 < 0) .

3/ Các bạn có thể chứng minh được giá trị ( +3 > -3 ) bao nhiêu?

* Nhưng ngược lại trong phép so sánh theo “ Phép toán mới ” của tôi đưa ra , thì tôi có thể trả lời một cách thoải mái mà không bị “ Bế tắc ” hay “ Trở ngại ” , khi gặp các câu hỏi đại loại như trên . Tôi xin được dẫn chứng bằng cách lí giải các câu hỏi trên :

* Lí giải các câu hỏi trên theo “ luận điểm toán mới ”

1/ Tại sao hai giá trị( - 3 < 0) và (- 4 < 0) , nằm bên tay trái của số không(0) , nhân với nhau theo phép nhân dấu của “ Phép toán cũ ” thì kết quả lại cho ra giá trị dương (+ 12 > 0) ?

Theo luận điểm toán mới :

Thì các giá trị(-3) và (-4) , điều lớn hơn không(0) , nghĩa là: ( -3 > 0 và -4 > 0 ) . Vì vậy theo “ Toán mới ” thì hai giá trị( -3 và -4 > 0 ) , khi nhân với nhau theo quy tắc của phép toán nhân( - x - = + ) , sẽ cho ra phép toán cộng(+) lớn hơn không( + > 0 ) , đó là điều hiển nhiên không thể nào khác được . nghĩa là : ( -3 x -4 = +12 > 0 )

2/ Tại sao khi ta lấy giá trị âm(-1 < 0 ) và giá trị dương (+ 1.000 > 0) , đem nhân với nhau thì kết quả lại cho ra giá trị ( -1.000 < 0 ) . Nghĩa là kết quả lại nhỏ hơn không đến cả ngàn lần

Theo luận điểm toán mới :

Thì giá trị ( -1 > 0 ) và giá trị ( + 1.000 > 0 ) , Vì vậy theo “ Toán mới ” thì hai giá trị( -1 và +1.000 > 0 ) , khi nhân với nhau theo quy tắc nhân của phép toán( + x - = - ) , sẽ cho ra phép toán trừ(-) vẫn lớn hơn không , đó là điều hiển nhiên không thể nào khác được . nghĩa là : ( -1 x +1.000 = -1.000 > 0 )

3/ Các bạn có thể chứng minh được giá trị ( +3 > -3 ) bao nhiêu?

Cũng từ định nghĩa 3 : và các chứng minh trên , tôi sẽ chứng minh và giải thích tại sao “ Nền tảng toán học cũ ” , không thể chứng minh và giải thích được ( +3 > -3 bao nhiêu? ) .

Trong khi “ Luận điểm toán mới ” do tôi đưa ra , lại chứng minh và giải thích được vấn đề trên , mà không bị bất kỳ sự bế tắc nào .

theo tôi thì giữa hai giá trị +3 và -3 , sẽ được phân tích một cách cụ thể như sau :

Muốn so sánh giữa hai giá trị mang hai phép toán cộng(+) và trừ(-) đó , trước tiên tôi sẽ tách các phép toán ra khỏi các giá trị +3 và -3 ta sẽ có :

1) 3 = 3 ;

2) + ≠ -

Nghĩa là +3 và -3 có giá trị thực bằng nhau , nhưng khác nhau về phép toán , mà đơn thuần là phép toán đứng “ độc lập ” , thì có ai đi so sánh các phép toán , để biết phép toán nào lớn hơn phép toán nào bao giờ . Vì vậy trên trục số thực , mang hai phép toán cộng(+) và trừ(-) , ngược chiều nhau so với số không(0) luôn nằm tại tâm điểm ,đều có giá trị thực bằng nhau , mặc dù mang hai phép toán khác nhau :

- ……………. - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , + 1 , + 2 , + 3 ,+ 4 , + 5 ………………….,+

Rất đơn giản , rất toán học và rất đúng với thực tế ,tôi xin được chứng minh cách lý giải trên , bằng các ví dụ rất cụ thể và đơn giản như sau :

Ví dụ :

1/ So sánh giữa thiếu nợ và có tiền :

Trường hợp bạn A thiếu nợ 3đ , nghĩa là bạn A bị trừ(-3đ) , trong khi đó em của bạn A lại có 3đ , nghĩa là cộng(+3đ) . Nếu lập luận theo “ Toán cũ ” , thì ( +3đ em bạn có > -3đ mà bạn thiếu) , là “ Sai ” từ toán học cho đến thực tế , tại sao ?

Tại vì khi bạn A nhờ em bạn lấy 3đ mà em bạn có , đem trả nợ giùm bạn ấy , thì không được thối lại tiền dù chỉ là một “ xu ” , tại sao vậy? Tại vì :

-3đ + 3đ = 0

Mà hai giá trị đó khi cộng(+) lại bằng không , thì hai giá trị đó phải bằng nhau từ “ Toán học lẫn thực tế ” mới đúng phải không các bạn?

Tương tự như ví dụ trên , các bạn có bao giờ thấy trong toán học , lại đi so sánh giữa hai phép toán nhân(x) và chia(/) , để xem giữa hai phép toán đó , phép toán nào lớn hơn phép toán nào bao giờ phải không các bạn? Đơn cử có ai lại đi so sánh nhân 3 lớn hơn chia 3 là bao nhiêu bao giờ . Điều đó nói lên vấn đề thật “ Mấu chốt ” và “ Quan trọng ” như sau :

Trong phép so sánh bằng(=) , lớn hơn( > ) , nhỏ hơn( < ) , chúng ta chỉ so sánh các “ giá trị thực ”để biết giá trị nào bằng(=) , lớn hơn( > ) , hoặc nhỏ hơn( < ) , giá trị nào , mà không cần quan tâm đến “ các phép toán áp đặt ” lên các giá trị đó .

2/ So sánh vận tốc :

Nếu tại điểm xuất phát không(0) , có hai chiếc xe cùng chạy theo hai hướng ngược chiều nhau với vận tốc là 50km/h . Hỏi vận tốc của xe nào lớn?

Nếu theo “ Luận điểm toán học cũ ” , luôn cho rằng chiếc xe chạy với vận tốc 50km/h theo chiều dương(+) , sẽ lớn hơn vận tốc 50km/h theo chiều âm(-) . Như có lần khi tranh luận trên trang Web của Đài BBC , cũng như các trang Web toán học khác , thì đa số các bạn điều cho rằng ( +50km/h > -50km/h ), là sai một cách thật cơ bản từ toán học cho đến thực tế , tại sao vậy?

* Sai từ thực tế

Nếu không tin , các bạn có thể thực hành bằng cách lấy hai chiếc xe ra chạy thử , các bạn sẽ thấy vận tốc của hai chiếc xe là bằng nhau , mặc dù chúng chạy ngược chiều nhau

* Sai từ toán học

Trong khi “ Nền tảng toán học cũ” , đã chứng minh một cách rõ ràng rằng

+50km/h + ( -50km/h ) = 0

Nhưng thực tế lại dạy cho chúng ta hiểu ngược lại là ( +50km/h > -50km/h ),

Vậy mà bao nhiêu thế kỷ nay nhân loại cứ phải học và phải hiểu toán học theo cách “ Ngược ngạo ” thì quả là khó hiểu cho cái hiểu ngày nay?

3/ So sánh về nhiệt độ :

khi nhìn vào “ Nhiệt kế ” , chúng ta dễ dàng nhận thấy thang đo nhiệt độ ghi trên đó từ âm(-) cho tới dương(+) , và nhiệt độ 0 luôn nằm tại tâm điểm . Có một lần khi tranh luận trên trang Web của Đài BBC có một số bạn đã bảo rằng :

+3độ > -3độ

* Sai từ thực tế

Thật là buồn cười , khi mà ta lấy hai cái nhiệt độ ( +3độ và -3độ ) đó hòa lại với nhau , thì chúng sẽ trở về nhiệt độ không(0) . mà một khi nhiệt độ bằng không(0) , thì làm gì ( + 3độ lại lớn hơn -3độ ) , thực tế là như vậy. Còn về toán học thì sao ?

* Sai từ toán học

Còn toán học cũng đã chứng minh rõ ràng : + 3độ + ( -3độ ) = 0

Các bạn có nhận thấy tôi đã giải thích những vấn đề toán học , trên theo “ Luận điểm toán mới ” , một cách đơn giản và chính xác , đúng từ toán học cho đến thực tế .Vậy mà từ nào đến giờ “ Nền tảng toán học cũ ” , không thể nào dùng chính cái nền tảng toán học mà mình đã học , giải thích được các câu hỏi tưởng chừng thật đơn giản , thật toán học như trên , thì quả là chuyện lạ .

Từ định nghĩa và các chứng minh trên ta rút ra định lý 3 như sau :

. ĐỊNH LÝ 3 :

Chúng ta có thể tiến hành phép so sánh bằng(=) , lớn hơn(>) , hay nhỏ hơn(<) , giữa các phép toán cộng(+) , trừ(-) với nhau trong tập số thực R

IV / ĐỊNH NGHĨA 4 :

Giá trị không (0) là giá trị nhỏ nhất tuyệt đối , dùng để diễn tả cho sự triệt tiêu mọi giá trị kể cả véctơ (à ) , do đó chúng ta không được thể hiện véctơ không (0)

* Chứng minh :

Do trong toán học chúng ta không sử dụng giá trị âm nhỏ hơn không ( - < 0 ) , nên trong “ Toán – Lý ” hoặc bất kỳ môn học nào , chúng ta cũng không được dùng cách biểu thị vectơ ( 0 ) .

- Trong vật lý điểm xuất phát và chiều di chuyển được kí hiệu là vectơ (

), thể hiện chiều di chuyển của vật . Chứng ta có hai cách thể hiện vectơ (

) như sau :

a/ Cách thể hiện thứ nhất :

Nếu ta chọn điểm O là điểm xuất phát của vật khi di chuyển với vận tốc v, về hướng cùng chiều với trục toạ độ x đến điểm M. Ta kí hiệu vectơ vận tốc v theo hướng toạ độ x như sau (

) chiều vectơ (

) thể hiện cùng hướng với trục x và đoạn OM được thể hiện.

; hình vẽ 1

Vectơ vận tốc

luôn lớn hơn hoặc bằng zerô (0) ( 0 )

Cũng từ điểm zerô (0) , nếu ta di chuyển theo chiều ngược lại chiều Ox , với vận tốc v’, đến điểm M’ , ta kí hiệu vectơ vận tốc v’ ngược chiều

như sau (

) ,Vectơ vận tốc (

) chỉ vật di chuyển ngược chiều trục Ox và (

0 ) và đoạn OM’ được thể hiện

* Lúc đó vectơ vận tốc tổng sẽ thể hiện ba trường hợp sau:

1/Trường hợp

lớn hơn

(

) thì :

;

cùng chiều với

Ghi chú: đọc là vận tốc tổng

2/ Trường hợp

thì

v_t =

–

= 0

( v_t không thể hiện chiều vectơ do :

= 0 , vectơ theo phương

trừ cho vectơ ngược chiều bằng không ). Nên trong vật lý cũng như trong toán học , ta không cần sử dụng vectơ (

) như lập luận của “ toán cũ “.

3/Trường hợp

thì

(vectơ

cùng chiều với vectơ

)

b) Cách thể hiện thứ 2 :

Chúng ta vẫn thể hiện theo cách của “ Toán cũ ” , nghĩa là ta chọn chiều vectơ theo một hướng duy nhất là hướng dương(+) , thì chiều vectơ theo hướng ngược lại sẽ là hướng âm(-) . Nhưng khi giải ra vận tốc( v ) mang giá trị âm(-) , chúng ta không được lập luận ( v < 0 )

Nếu ta chọn điểm O là điểm xuất phát của vật khi di chuyển với vận tốc v, về hướng cùng chiều với trục toạ độ x , đến điểm M. Ta kí hiệu vectơ vận tốc v theo hướng toạ độ x như sau : (

) chiều vectơ (

) thể hiện cùng hướng với trục x và đoạn OM được thể hiện.

hình vẽ 1

Vectơ vận tốc

luôn lớn hơn hoặc bằng zerô (0) ( 0)

. Cũng từ điểm zerô (0) , nếu ta di chuyển theo chiều ngược lại chiều Ox , với vận tốc – v’, đến điểm M’ , ta kí hiệu vectơ vận tốc – v’ ngược chiều

như sau {( -

' ) , chỉ vật di chuyển ngược chiều trục Ox và ( -

0)}, do đó đoạn OM’ được thể hiện . -

* Lúc đó vectơ vận tốc tổng sẽ thể hiện ba trường hợp sau:

1/Trường hợp

lớn hơn -

' (

> -

' ) thì :

+ ( -

) ;

sẽ là vectơ mang giá trị dương(+ > 0 )

Ghi chú: đọc là vận tốc tổng

2/ Trường hợp

= -

' thì

v_t =

+ ( -

' ) = 0

( v_t không thể hiện chiều vectơ do , vectơ theo phương

, trừ cho vectơ ngược chiều bằng không ). Nên trong vật lý cũng như trong toán học , ta không cần sử dụng vectơ (

) như lập luận của “ toán cũ “.

3/Trường hợp

< -

' thì

+ (-

') = -

' (vectơ sẽ là vectơ mang giá trị âm( - > 0 ) .

Nghĩa là theo “ Phép toán mới ” , dù cho chúng ta thể hiện chiều vectơ theo chiều âm(-) , hay dương(+) thì giá trị vectơ luôn lớn hơn không .

Từ định nghĩa và cách chứng minh trên ta suy ra được định lý sau :

· ĐỊNH LÝ 4 :

Giá trị không (0) là giá trị triệt tiêu cho mọi vấn đề và không mang bất cứ một ý nghĩa nào .

V / ĐỊNH NGHĨA 5 :

Do không sử dụng các giá trị âm(-) nhỏ hơn không ( - < 0 ) , nên chúng ta không cần sử dụng đến giá trị tuyệt đối ( I I )

* Chứng minh :

Trong toán học do không có các giá trị âm(-) nhỏ hơn không ( - < 0 ) , mà chúng ta chỉ đơn thuần dùng các số tự nhiên trong toán học và các số tự nhiên đó , luôn mang giá trị lớn hơn không ( > 0 ) , nghĩa là :

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 ……………………… <

Vì vậy khi các số tự nhiên đó được chúng ta gán cho các phép toán (+) hoặc trừ (-) , thì chúng vẫn luôn mang các giá trị lớn hơn không (> 0) , mà qua phần lời thiệu , tôi đã dùng hai bài toán thật cơ bản chứng minh các giá trị âm(-) vẫn lớn hơn không ( - > 0 ) . Nghĩa là :

0 < - 1 < - 2 < - 3 < - 4 < - 5 ………………… < -

Đồng thời giữa các giá trị mang hai phép toán cộng(+) và trừ(-) trái ngược nhau , chúng ta có thể so sánh các giá trị đó với nhau , như trong phần ( định nghĩa và cách chứng minh 3 ) , nghĩa là giá trị mang phép toán trừ(-) vẫn lớn hơn không( - > 0 ) , kể cả giá trị cộng(+). Nên chúng ta không cần dùng đến giá trị tuyệt đối (I I ) .Nghĩa là giữa hai phép toán cộng(+) và trừ(-) với nhau , giá trị thực của phép toán nào lớn , thì giá trị đó lớn .

* Ví dụ : - 4 > +3 ; - 2 > +1 ; -1 > 0 ; ….v..v…

Với cách lý giải trên sẽ làm “ Kim chỉ nam ” xuyên suốt cho toàn thể các môn khoa học tự nhiên sau này , kể cả khi sử dụng đến hệ tọa độ , mà không cần dùng đến giá trị tuyệt đối( I I )như “ Nền tảng toán học cũ ” vẫn dùng và luôn xem đó như là lá bùa hộ mệnh. Hay nói đúng hơn là “ phép thuật biến hóa ” có thể biến các giá trị đang âm(-) nhỏ hơn không( - < 0 ) , trở thành các giá trị dương(+) lớn hơn không(0) .

Để dẫn chứng tôi xin đưa ra một ví dụ thật cụ thể của “ Phép toán cũ ” , sử dụng “ giá trị tuyệt đối ” như phép thuật biến hóa qua bài toán sau ;

Bài toán :

Khảo sát chuyển động của một vật ném lên theo phương thẳng đứng từ một độ cao đã cho.

Từ độ cao 5m một vật được ném theo phương thẳng đứng lên phía trên với vận tốc ban đầu 4m/s. Chọn trục tọa độ Oy thẳng đứng hướng lên trên.

a/ Viết phương trình chuyển động của vật.

b/ Vẽ đồ thị tọa độ, đồ thị vận tốc của vật.

c/ Mô tả chuyển động , nói rõ chuyển động là nhanh dần đều hay chậm dần đều.

d/ Tính vận tốc của vật khi chạm đất.

Bài giải

Chọn gốc tọa độ ở mặt đất , gốc thời gian là lúc ném vật. Ta có : y₀ = 5m, v₀ = 4m/s, a = —g = —9,8m/s².

a/ Phương trình chuyển động

y = —4,9t² +4t +5

b/ Muốn vẽ được đồ thị tọa độ, ta phải biểu diễn hàm bậc hai y = —4,9t² +4t +5 , hàm này có dạng :

b )

Hình 1 : Đồ thị tọa độ và đồ thị vận tốc

y = at²+bt +c với a = - 4,9 ; b = 4 ; c = 5. Đường biểu diễn hàm y theo t là một đường parabol có bề lõm hướng xuống ( vì a < 0 ), cắt trục tung tại điểm A(t = 0, y = 5) ứng với lúc ném vật và cắt trục hoành tại điểm C (t = t₂, y = 0) ứng với lúc vật chạm đất (hình 1a), t₂ là nghiệm dương của phương trình:

—4,9t² +4t +5 = 0

Đỉnh B của parabol ứng với cực đại của tam thức at² +bt +c. Cực đại đạt được khi :

Giá trị cực đại là :

Biểu thức của vận tốc là:

V = v₀ + at = 4 - 9,8t

Đồ thị vận tốc là đường thẳng vẽ ở hình 1.b

c/ Chuyển động ném lên có hai giai đoạn:

- Vật đi từ độ cao 5m đến độ cao 5,82m. Trong giai đoạn này vận tốc hướng lên và có độ lớn giảm dần từ 4m/s đến 0 m/s , chuyển động là chậm dần đều.

Giai đoạn này kéo dài từ t₀= 0 đến t₁ = 0,41s.

- Vật đi xuống từ độ cao 5,82m. Trong giai đoạn này vận tốc hướng xuống và có độ lớn tăng dần từ 0 đến I4 – 9,8.1,5I= 10,6 m/s.

Giai đoạn này kéo dài từ t₁ = 0,41s đến t₂ = 1,5s . Trong cả hai giai đoạn gia tốc của vật vẫn là —9,8 m/s2.

d/ Vận tốc của vật khi chạm đất là :

v₂ = 4 – 9,8.1,5 = —10,6 m/s < 0 ; dấu trừ có nghĩa là vận tốc hướng xuống.

· Trong bài toán trên khi giải ra kết quả :

Vật đi xuống từ độ cao 5,82m. Trong giai đoạn này vận tốc hướng xuống và có độ lớn tăng dần từ 0 đến

I4 – 9,8.1,5I= 10,6 m/s.

Các bạn có nhận thấy bài toán trên khi giải ra kết quả là giá trị âm( - < 0 ) :

( 4 – 9,8. 1,5 = - 10,6 m/ s < 0) .

Vậy mà chỉ cần đưa hai cái gạch “ Giá trị tuyệt đối ( I I ) ” là ta có thể “ Hô biến ” Từ giá trị âm( - < 0) thành giá trị dương(+ > 0)

I4 – 9,8.1,5I= 10,6 m/s > 0

Thì quả là trải qua bao nhiêu thế kỷ , nhân loại được học “ Phép thuật ” biến hóa hơn là học toán thì quả là chuyện lạ ( khó tin nhưng có thật 100% ) .

- Trường hợp cũng bài toán trên , nếu áp dụng theo “ Phương pháp toán mới ” mà tôi đưa ra,do giá trị âm(-) vẩn lớn hơn không( - > 0 ), nên tôi chẳng cần dùng đến cái giá trị tuyệt đối mang tính phép thuật biến hóa trên .

Cách chứng minh như sau :

- Nếu ta chọn chiều khi vật đi lên(hướng lên) , là phép toán cộng(+) { mà theo “ Phép toán cũ ” là chiều dương(+) } . Khi vật đi xuống , hay hướng xuống , là phép toán trừ(-){ theo “ Phép toán cũ ” là chiều âm(-)}.

Vì vậy khi vật đi xuống từ độ cao 5,82m. Trong giai đoạn này vận tốc hướng xuống và tăng dần từ 0 đến

- 4 – 9,8.1,5 = -10,6 m/s > 0

Khi bài toán kết quả cho ra giá trị âm(-) , là ta biết rằng vật đi xuống hay hướng xuống , có giá trị tăng dần từ ( 0 đến -10,6 m/s ) . Các bạn có nhận thấy , với cách lý giải của tôi , tôi không cần dùng đến giá trị tuyệt đối ( I I ) , mà tôi vẫn giải được một cách cụ thể , đúng với thực tế , là khi vật đi xuống thì vận tốc có độ lớn tăng dần từ 0 đến -10,6 m/s > 0

Từ định nghĩa và cách chứng minh trên ta có thể rút ra định lý như sau :

· ĐỊNH LÝ 5 :

Trong toán học chúng ta không cần dùng đến các giá trị tuyệt đối ( I I )

E / ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN MỚI VÀO CÁC PHƯƠNG TRÌNH TOÁN HỌC :

Trong “ phương pháp toán mới ” , tôi sẽ trình bày lại một số tập hợp số có phần cải biên như sau :

Trong “ phương pháp toán mới ” thì chỉ cần dùng duy nhất tập các số tự nhiên,kết hợp với các phép toán do chúng ta đặt ra , mà toán học sẽ có các tập số tự nhiên mang các giá trị toán học khác nhau như sau :

N : Tập các số tự nhiên { 0,1,2,3,4,……}

Khi kết hợp với phép toán cộng(+) , chúng ta sẽ được tập các số tự nhiên mang phép toán cộng(+) như sau:

N₊ : Tập các số tự nhiên mang phép toán cộng : { 0 , +1 , +2 , +3 , +4 ,…….}

Khi kết hợp với phép toán trừ(-) , chúng ta sẽ được tập các số tự nhiên mang phép toán trừ(-) như sau :

: Tập các số tự nhiên mang phép toán trừ : { 0 . -1 , -2 , -3 , -4 , ………}

Nếu ta quy ước Z là tập các số nguyên bao gồm tập các số tự nhiên mang phép toán cộng(+) và phép toán trừ(-) ,ta sẽ có tập:

Z = N₊

Z : tập các số nguyên { …………, -4 , -3, -2 , -1 ,0 , +1 ,+2 ,+3 ,+4 ,………}

Q : Tập hợp các số hữu tỉ là tập hợp các số biễu diễn được dưới dạng (m,n Î Z,N và m,n 0)

R : Tập hợp các số thựcx ,x hữu tỉ hoặc vô tỉ

R = R+ R-

R+ : Tập hợp các số thực gồm số không(0) và các số thực mang phép toán cộng(+) , được gọi là tập các số thực mang phép toán cộng(+) .

R- : Tập hợp các số thực gồm số không(0) và các số thực mang phép toán trừ(-) , được gọi là tập các số thực mang phép toán trừ(-) .

r+ {là tập các số thực bao gồm các giá trị mang phép toán cộng(+) > 0, không chứa giá trị không(0) }

r- {là tập các số thực bao gồm các giá trị mang phép toán trừ(-) > , không chứa giá trị không(0) }

r = r+ r- {là tập các số thực bao gồm các giá trị mang các phép toán cộng(+) và các phép toán trừ(-), lớn hơn không(0) , không chứa giá trị không(0)}

1/ Áp dụng vào phương trình bậc nhất :

Trong luận điểm “ toán mới ” chúng ta sẽ không cần sử dụng “ hàm tuyệt đối ”

Ví dụ 1 : hàm số bậc nhất

a/ Vẽ đồ thị hàm số :

Theoluận điểm “ toán cũ” :

Hàm số trên được thể hiện như sau:

xem Hình 1.a

hình:1.a

^{Theo luận điểm “ toán mới “ :}

Hàm số trên được thể hiện như sau:

xem hình :1.a

b/ Vẽ đồ thị của hàm số^:

Theo luận điểm “ toán cũ “ :

Hàm số trên được thể hiên như sau:

; hình: 1.b

Hình : 1b

Theo luận điểm “ toán mới “ :

Hàm số trên được thể hiện như sau:

; hình:1.b

2/ Áp dụng vào phương trình bậc hai :

Ví dụ 2 : hàm số bậc hai : y=ax² (a

0) tập xác định R

Theo luận điểm “ toán cũ” :

· Khi a > 0 ; Parabol có đỉnh nằm trên trục hoành

Chiều biến thiên và đồ thị hình : 2a

Hình : 2a

· Khi a < 0 ; Parabol có đỉnh nằm phía dưới trục hoành :

Chiều biến thiên và đồ thị hình : 2b

Hình : 2b

Theo “ luận điểm toán mới ”

· Khi a € r+ ; Parabol có đỉnh nằm trên trục hoành:

Hình : 3a

· Khi a € r- ; Parabol có đỉnh nằm dưới trục hoành :

Xem bảng biến thiên và đồ thị hình: 3b

Hàm số “ nghịch biến ” cả hai miền

Hình : 3b

3/ Áp dụng luận điểm “ toán mới ” vào hình học và lượng giác :

Trước tiên ta có thể chia vòng tròn 360⁰ ra làm bốn phần như sau : hình 1

hình: 1

Góc phần tư thứ I từ 0⁰ đến 90⁰ là ( x0y )

Góc phần tư thứ II từ 90⁰ đến 180⁰là ( x’0y )

Góc phần tư thứ III từ 180⁰ đến 270⁰là ( x’0y’ )

Góc phần tư thứ IV ltừ 270⁰ đến 360⁰là ( x0y’ )

Tỉ số lượng giác của góc

bất kì với : 0⁰

180⁰

a/ Theo luận điểm “ toán cũ “

Cho hệ trục toạ độ với các điểm A’ = (-1;0) ;A =(1;0);B=(0;1) ta xét nửa đường tròn có

đường kính AA’ đi qua A, B nó được gọi là nửa đường tròn đơn vị (vì có bán kính bằng 1).

Chọn điểm M nằm trên nửa đường tròn có toạ độ là (x,y) và gọi góc giửa hai tia OX và OM

là

với góc

= 45⁰ ; hình:1.a

^M^{nằm trên miền xác định (xOy) ta có OM1 = OM2 =}^{;Vậy sin =}

^cos

^; tg

^{= 1 ; cotg}

^{= 1}

Do đó tỉ số lượng giác của các góc cần nhớ được thể hiện như sau:

b/ Theo “ luận điểm toán mới ”

Chúng ta vẫn tiến hành tính toán tỉ số lượng giác như bình thường , nhưng các giá trị tỉ số lượng giác của các góc , khi có các giá trị mang phép toán trừ(-) , chúng ta không được lâp luận và gán cho các giá trị đó nhỏ hơn không(0),

ví dụ :

Chúng ta không được cho các giá trị :

Mà chúng ta phải lập luận các giá trị mang phép toán trừ(-) đó đều mang giá trị lớn hơn không , nghĩa là :

4/ Áp dụng vào môn lý

A/ Vận dụng dãy số âm(-) ; 0 < –1 < -2 < -3 < -4 < -5 <….< - vào môn vật lý :

Giả sử chúng ta xuất phát ở điểm zerô (0) nếu chúng ta đi tới , và qui ước là chiều dương (+) , vận tốc sẽ tịnh tiến 1km/h, 2km/h,…..vv.Nếu cũng từ điểm xuất phát là zerô (0) chúng ta di chuyển theo chiều ngược lại thì vận tốc cũng sẽ tịnh tiến theo hướng ngược lại

-1km/h,-2km/h,…….vv giá trị vận tốc mang phép toán trừ(-) theo qui ước nhưng -3km/h vẫn lớn hơn –2km/h vẫn lớn hơn –1km/h ….v..v…..

Như ở phần định nghĩa 3 , tôi đã đưa một ví dụ không cần sử dụng đến “ giá trị tuyệt đối ” mang nặng tính phép thuật biến hóa . Trong phần áp dụng vào môn “ Lý ” , tôi sẽ đưa ra một ví dụ cụ thể mà trong một lần tranh luận trên trang Web , Đài BBC có bạn đã đưa bài toán “ Gía trị tuyệt đối ” ra hỏi tôi

Ví dụ 1 :

(trích đăng câu hỏi của bạn Bực)

a/ Thực hiện theo “ phép toán cũ ”

Tôi đưa ra ví dụ cụ thể để anh hiểu cái gì là “ giá trị tuyệt đối ” trong toán học nhé :Nhà tôi ở gần một con sông tôi thường ra tắm sông và quan sát thấy rằng dòng sông chảy với tốc độ 5km/h nếu tình từ A đến B (ở đây A là đầu sông B là cuối sông ) nhà tôi ở đoạn giữa của con sông tạm gọi là điểm O. Với sức của tôi, tôi bơi tối đa chỉ được 5km/h trong hồ tắm công cộng ( tức là trong trạng thái nước không chảy ), ấy vậy mà khi tôi bơi “xuôi” dòng từ nhà tôi ( tại điểm O)đến điểm B sau 1 tiếng tôi bơi được đoạn đường dài 10km. Ngược lại , nếu tôi bơi “ngược” dòng sông ( từ điểm O đến điểm A ), sau 1 tiếng đồng hồ tôi vẫn đứng tại điểm O(tức là nhà tôi ). Tại sao lại có hiện tượng này? Tôi muốn dùng ví dụ này để giải thích cho anh hiểu cái gì gọi là giá trị tuyệt đối trong toán học cái mà anh cho là “đối số “và gọi đó là sự “Sai Lệch Toán Học” của anh .

Trong toán học “giá trị tuyệt đối” của /-5/ = /+5/ = 5 .Ở đây , giá trị tuyệt đối của tôi là trong 1 giờ , tôi bơi được 5km/h trong hồ tắm công cộng bất kể tôi bơi về hướng nào nếu như tôi xuất phát ở giữa hồ. Trở lại với dòng sông cạnh nhà tôi , thật ra khi bơi ngược dòng “ giá trị tuyệt đối”mà tôi bơi được trong một giờ cũng là 5km/h , nhưng tôi bị dòng sông đẩy tôi lại với vận tốc 5km/h nên sau 1 giờ đồng hồ bơi ngược dòng sông , tôi vẫn ở ngay tại nhà tôi. Viết theo toán học là : Nếu chọn chiều dương là chiều chảy của dòng sông ( A đến B) ta có .(+5) + (-5) = 0. Ơ đây (+5) là vận tốc dòng sông,(-5) là vận tốc của tôi bơi. Lưu ý(-5) mang dấu trừ có nghĩa là ngược dòng do đó “gía trị tuyệt đối” của tôi lúc này vẫn là 5 (/-5/ =5 ) . Nếu tôi bơi xuôi dòng sau 1 giờ cũng là 5km/h , nhưng tôi được dòng sông đẩy đi 5km/h nữa , do đó , tôi mới bơi được 1 đoạn dài 10km. Viết theo toán học là: Nếu tôi chọn chiều dương là chiều chảy của dòng sông ( A đến B ) ta có (+5)+(+5)=10 .Ở đây(+5) là vận tốc dòng sông và(+5) là vận tốc của tôi bơi. Lưu ý : dấu cộng (+) mang ý nghĩa là xuôi dòng do đó “giá trị tuyệt đối” /+5/ của tôi lúc này vẫn là

5( /+5/ = 5 )

Qua cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề mà bạn Nguyễn Văn Bực đưa ra tôi thấy bạn ấy có “hai điểm sai” cơ bản ,theo tôi không phải do bạn ấy làm sai mà do “ Nền tảng toán học cũ ” đã dạy và bắt buộc bãn ấy phải làm theo cách như vậy khi gặp phải bài toán như trên . Hai điểm sai đó được thể hiện như sau :

1. Do không giải quyết được [giá trị âm(-)] trong bài toán , nên bạn đã đưa vào giá trị tuyệt đối mà hầu như mọi bài toán (toán , lý) nào , khi không giải quyết được giá trị âm( - < 0) đều nhờ vào “giá trị tuyệt đối” để giải quyết. Nên càng làm cho nền tản toán học trở nên rắc rối, phức tạp và khó hiểu .

2. Cùng một bài toán mà khi bạn Bực bơi “xuôi dòng” với dòng sông , bạn cũng dùng bài toán [cộng vận tốc(v_bB +v_ds)] và khi bạn ấy bơi “ngược chiều” với dòng sông , bạn ấy cũng sử dụng bài toán [cộng vận tốc(v_ds+-v_bB)] , là sai với nguyên tắc của phép toán , thay vì phải sử dụng bài toán [trừ vận tốc (v_ds--v_bb)]

b/ Ap dụng luận điểm “ toán mới “ để giải bài toán của bạn Nguyễn Văn Bực -

Canada

, mà không cần sử dụng giá trị tuyệt đối :

Trường hợp bạn Bực bơi xuôi dòng sông do dòng nước đẩy hỗ trợ nên một giờ bạn Bực bơi được :

v = v_bB + v_ds = 5km/h + 5km/h = 10 km/h

Chú thích^:

Trường hợp bạn Bực bơi ngược chiều dòng sông bạn sử dụng giá trị vận tốc âm(-) , (-v) , là bạn ấy đã áp đặt cho vận tốc của bạn ấy bài toán trừ trước -v = -5km/h , nên sau này chúng ta không cần sử dụng phép toán trừ(-) lần nữa , nên không cần sử dụng đến giá trị tuyệt đối.

Do bơi ngược chiều dòng sông nên dòng nước đẩy bạn ấy ngược lại , vì vậy ta sử dụng phép toán trừ , nên sau một giờ bạn Bực bơi được:

v= v_ds – v_bB = 5km/h – 5km/h = 0

Dù khác dấu , nhưng hai giá trị vận tốc vẫn bằng nhau : 5km/h bơi tới = 5km/h bơi lui

Và chúng ta không được lập luận vận tốc v_bB = -5km/h < 0

Trường hợp với bài toán trên , nếu sử dụng theo cách nhân(x), chia(/) dấu , do các giá trị âm vẫn lớn hơn không ( - > 0) nên ta cũng chẳng cần dùng đến “ Gía trị tuyệt đối ” cách thể hiện như sau :

Nếu chọn chiều dương là chiều chảy của dòng sông ( A đến B) ta có .(+5) + (-5) = 0. Ở đây (+5) là vận tốc dòng sông,(-5) là vận tốc của tôi bơi. Lưu ý(-5) mang dấu trừ(-) là bơi ngược dòng ,mà vận tốc khi bơi ngược dòng vẫn phải lớn hơn không, nghĩa là ( - 5km/h > 0) ,

1. Chú thích :

Đối với những bài toán chỉ cần sử dụng các phép toán cộng(+), trừ(-) , đơn giản như trên chúng ta vẫn tiến hành theo các phép toán cộng(+) , trừ(-) bình thường .

Trường hợp nếu các bài “ toán – lý ” , liên quan đến các phương trình toán học , chúng ta có thể tiến hành theo cách nhân(x), chia(/), dấu một cách thoải mái ,đồng thời các giá trị như: vận tốc( v ) , gia tốc( g ) , hay lực tác dụng( F ) ,mang các phép toán trừ(-) ,vẫn được hiểu một cách cụ thể là các giá trị đó vẫn lớn hơn không(>0) .Nên chúng ta không cần dùng đến “giá trị tuyệt đối ” mang tính phép thuật biến hóa như từ nào đến giờ “ nền tảng toán học cũ ” vẫn thường dùng .

B/ Tương tự như những lập luận và ví dụ nêu trên “luận điểm toán mới” được áp dụng cho mọi trường hợp : gia tốc (a); lực tác động (F); lực trọng trường(g);…v…v… và chúng ta không được lập luận bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn không (0) -a < 0 ; -F < 0 ; -g < 0…v….v…

Ví dụ 2: Sách vật lý lớp mười

Một vật đặt ở chân một mặt phẳng nghiêng một góc

=30⁰ với phương nằm ngang , hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng nghiêng là m = 0,2 .Vật được truyền một vận tốc ban đầu v₀= 2m/s theo phương song song với mặt phẳng nghiêng và hướng lên trên

Sau bao lâu thì vật tới vị trí cao nhất ?

a/ Giải theo luận điểm “ toán cũ “

Chọn trục Oxy như ; hình vẽ: 1

vật chịu tác dụng của trọng lực

, phản lực pháp tuyến

và lực ma sát

của mặt phẳng nghiêng

Ta phân tích lực

ra làm hai thành phần

Py= m.g.cos

thành phần này ép vật vào mặt phẳng nghiêng và gây ra lực ma sát (có phản lực pháp tuyến

của mặt phẳng nghiêng cân bằng với lực này

Fms = m.m.g.cos

Px = m.g.sin

thành phần này cùng Fms đều có tác dụng cản trở chuyển động gia tốc của vật

ð a= -6,6m/s² < 0

Khi vật lên vị trí cao nhất v_t = 0 vậy

hình : 1

b/ Giải theo luận điểm “ toán mới ”

Cũng với cách giải như trên theo “ phép toán cũ ” nhưng khi giải ra gia tốc :

ð a= -6,6m/s² > 0

Ta không được lập luận gia tốc a= -6,6m/s² < 0

Nói tóm lại :

* Với những phương trình thuần túy về toán học , thì chúng ta chỉ được giải quyết bằng toán học , mà cụ thể bằng các phép toán cộng (+) , trừ (-) , nhân (x) , chia (/) .Chứ chúng ta không sử dụng các giá trị âm(-) và cho rằng các giá trị âm đó nhỏ không (- < 0) .

* Do không sử dụng các giá trị âm nhỏ hơn không ( - < 0 ) , mà đơn thuần các giá trị đó chỉ là các phép toán trừ(-) , nên chúng không mang tính trừu tượng và phi thực tế , như từ nào đến giờ

“ Nền tảng toán học cũ ” vẫn thường dùng . Nên khi các bài toán giải ra các giá trị mang phép toán trừ(-) , chúng vẫn được xem là các giá trị thực lớn hơn không( - > 0 ) , cũng tồn tại và mang các giá trị ngang hàng như các giá trị dương(+) .

Ví dụ :

Từ phương trình :

ax + b = 0

Ở đây tôi xin lưu ý và khẳng định lại với các bạn , là chúng ta phải đọc phương trình đó bằng tinh thần toán học như sau : ax cộng b bằng không . Có như vậy thì nghiệm của phương trình lúc đó sẽ là :

x = - a / b > 0

Chúng ta phải đọc và phải hiểu là , x bằng trừ a chia b lớn hơn không(0) . Chứ chúng ta không thể gán cho phép toán trừ (-) đó là giá trị âm nhỏ hơn không và đọc là : x bằng âm a trên b và nhỏ hơn không

x = - a/b < 0 là sai hoàn toàn từ toán học cho đến thực tế và cả với tự nhiên .

Tại sao tôi lại khẳng định như vậy ? Tại vì từ một phép toán cộng(+) , với các giá trị điều lớn hơn không, thì kết quả phải cho ra là phép toán trừ (-) và các giá trị đó vẫn phải là các giá trị lớn hơn không . Chứ không thể ở vế bên này là phép toán cộng(+) > 0 , vậy mà khi chuyển sang vế bên kia , lại trở thành giá trị âm nhỏ hơn không ( - <0 ) , là sai hoàn toàn từ toán học , cho đến tự nhiên , lẫn thực tế .

Chính vì có sự nhầm lẩn một cách tai hại như vậy, mà các nhà khoa học khi nghiên cứu về tự nhiên

“ Vũ trụ ” lại đưa ra những suy đoán sai lầm một cách thật tai hại . Mà một trong những nhà khoa học đưa

ra lý thuyết “ Sai lệch ” khi dựa vào cái “ Nền tảng toán học sai lệch ” , lại chính là nhà Bác học nổi tiếng

trên thế giới Albert Einstein

Nếu các bạn có xem qua “ Thuyết tương đối ” của nhà Bác học Albert Einstein trong , đó có công thức tính về thời gian , khi giải phương trình thời gian cho ra giá trị âm :

( - t < 0 )

Nhà bác học Albert Einstein cho rằng “ Thời gian sẽ bị co lại ”

Nghĩa là theo thuyết tương đối của nhà Bác học Albert Eistein thì , trong Vũ trụ thời gian ở mỗi

nơi mỗi khác , nơi thì dãn ra , nơi thì co lại . Chính vì “Nền tảng toán học cũ” sử dụng số ( âm - < 0 ) ,

mang tính trừu tượng và phi thực tế như vậy , nên nhà Bác học Einstein giàu trí tưởng tượng, dựa vào cái “ Nền

tảng toán học sai lệch ” đó , mới sản sinh ra được cái công thức tính ra thời gian âm , nghĩa là thời gian

( -t < 0 ) ; Đồng nghĩa với thời gian co lại , đã làm đau đầu không ít các nhà khoa học đương thời lúc bấy

giờ . Mà cho mãi đến ngày hôm nay vấn đề thời gian lúc co lúc dãn , vẫn làm đau đầu các nhà khoa học và

là câu thách đố trí thông minh của nhân loại vẫn còn đang bỏ ngỏ .

Mà vấn đề “ không gian và thời gian ” liên quan tới “ thuyết tương đối ” , của Einstein “ Sai ” ở điểm

nào , sẽ được tôi trình bày một cách rõ ràng và cụ thể hơn trong đề tài “Không gian và thời gian”.

5/ ÁP DỤNG LUẬN ĐIỂM TOÁN MỚI VÀO “ SỐ PHỨC ”

Như chúng ta điều biết do “ nền tảng toán học cũ ” , sử dụng giá trị âm(-) nhỏ hơn không ( - < 0 ) vào trong toán học , vì vậy trong trường hợp khi gặp phương trình :

x² + 1 = 0 => x² = -1 ; Nên toán học bị bế tắc do phương trình không có nghiệm , vì vậy “Nền tảng toán học cũ” phải bị gián đoạn trong một khoảng thời gian dài , sau này các nhà toán học mới tìm ra được cách sử dụng x² = -1 vào trong toán học , dưới dạng trường số rộng hơn trường số thực bằng cách đưa ra đơn vị ảo ( i ) và được định nghĩa dưới dang sau:

· Định nghĩa: Đơn vị ảo được ký hiệu là ( i ) , là một số có tính chất i² = - 1

Nghĩa là “Nền tảng toán học cũ” do bị “Sai lệch” từ nền tảng ban đầu , khi sử dụng “ Gía trị âm < 0 ” vào trong toán học , nên bị bế tắc khi gặp phải phương trình x² = -1 ; Vì vậy các nhà toán học sau này , buộc lòng phải tìm ra cách đưa vào toán học đơn vị ảo là ( i ) , nhầm bổ sung vào sự “ Sai lệch” ban đầu khi dùng giá trị âm( - < 0)

Nhưng các nhà toán học đâu biết rằng , khi sử dụng các “Giá trị ảo” , là chúng ta lại tiếp tực đưa ra những giá trị phi thực tế , đồng thời không thể lý giải được.Tôi xin đơn cử ra điểm“Sai lệch” cơ bản trong cách lập luận của “ phép toán cũ ” như sau:

Số phức là những số dược viết dưới dạng z = a + bi ; Trong đó (a , b) là những số thực bất kỳ

a được goi là phần thực của ( z )

b được gọi là phần ảo của ( z )

mỗi một số phức z = a + bi ; được biểu diễn bằng một điểm ( a , b ) trên mặt phẳng tọa độ .

như vậy :

Hoành độ̣ của điểm là phần thực của z . Trục hoành được gọi là trục thực .

Tung độ của điểm là phần ảo của z . Trục tung được gọi là trục ảo .

Nhìn vào định nghĩa về cách sử dụng số phức trên , chúng ta dễ dàng nhận thấy cách lập luận thật phi lý và đầy mâu thuẫn , một cách không thể lý giải được từ cơ sở ban đầu của “ Số phức ” .

Vậy mà các nhà toán học nói riêng và toàn thể các nhà khoa học nói chung , lại dễ dàng chấp nhận được cách lập luận “ Sai lệch” đó , thì theo tôi quả là chuyện lạ khó tin nhưng lại có thực 100% , trong một cái Nền tảng toán học lúc nào cũng cho rằng Logic và chính xác .Tại sao vậy?

Chúng ta phải biết rằng khi mà câu trên đã lập luận :

Hai giá trị ( a , b ) là hai số thực , nằm trong trường số thực , vậy mà ngay câu dưới các nhà toán học của chúng ta lại lập luận :

{ a được goi là phần thực của ( z ) }

{ b được gọi là phần ảo của ( z ) }

Chúng ta nên biết rằng trong toán học , một khi đã cho hai giá trị ( a , b ) là hai giá trị thực mà , đã là hai giá trị thực , thì làm sao chúng ta lại mặc nhiên gán cho “ một trong hai giá trị đó là phần ảo ”,thì quả là một việc làm phi “ Lôgic ” của toán học . Đồng thời biểu diễn hai (giá trị vừa thực vừa ảo) đó trên cùng một “ đồ thị ” , thì quả thực nhân loại được học “ Phép thuật ” , hơn là học toán , vậy mà trải qua bao thế kỷ nay nhân loại cứ phải học và phải hiểu như vậy thì quả là chuyện lạ .

Nếu như từ đầu các bậc tiền bối của chúng ta , không đưa ra các giá trị âm(- < 0 ) , mà xem các giá trị đó đơn thuần chỉ là phép toán trừ(-) và hiểu được các giá trị trừ(-) đó , vẫn lớn hơn không(- > 0) và nghiệm của các phương trình khi giải ra giá trị âm(-) , vẫn được công nhận . Thì “ Nền tảng toán học cũ ” , sẽ không bị

“ sai lệch ” và có lẽ sẽ được phát triển theo một chiều hướng đúng với tự nhiên và thực tế .Đồng thời theo suy nghĩ của riêng cá nhân tôi , toán học sẽ có được những bước tiến thuận lợi hơn rất nhiều . Cũng như nhân loại sẽ không phải đau đầu , với thuyết tương đối liên quan đến hai phạm trù “ Không thời gian ” , mang đầy nghịch lý .

· Sau khi phân tích những luận điểm vô lý của số phức , trong “ Nền tảng toán học cũ ” , tôi xin được đưa ra “Luận điểm toán mới” của tôi về cách áp dụng để xét phương trình

x² + 1 = 0 => x² = -1 ;

· Luận điểm toán mới về số phức :

Bằng cách triển khai “ Trường số thực mở rộng R’ mà không cần dùng đến các giá trị “ ảo ” một cách phi thực tế và không thể lý giải được như “ Nền tảng toán học cũ ” đã dùng ..

Như tôi đã trình bày ở phần trên trong “Luận điểm toán học mới ” , do tôi đưa ra không sử dụng các giá trị âm ( - < 0) , mà toán học chỉ bao gồm các số tự nhiên ,được thực hiện thông qua các phép toán , nằm trong trường số thực R . Vì vậy chúng ta có thể thực hiện bất kỳ các phép toán nào , lên các giá trị tự nhiên mà không gặp bất kỳ một trở ngại nào trong các quy ước về chúng .

1 / KHAI TRIỂN :

Bây giờ tôi sẽ triển khai “ Luận điểm toán học mới ” dưới dạng “ Trường số thực mở rộng ”, được ký hiệu là:

R’ : Trường số thực mở rộng

Trong đó tôi không cần sử dụng đến “ Số ảo ” một cách trừu tượng và phi thực tế như “ Nền tảng toán học cũ ” thường sử dụng .

Trong “ Trường số thực mở rộng ” , để đơn giản và dễ hiểu, tôi vẫn dùng lại ký hiệu ( i ) , nhưng có điểm khác biệt là ký hiệu ( i ) ở đây không gọi là số ảo mà giá trị ( i ) , được tôi định nghĩa như sau :

2 / ĐỊNH NGHĨA :

Giá trị ( i ): là giá trị thực, được thể hiện trong “ Trường số thực mở rộng ” ký hiệu là R’ , mà trong đó ( i ) sẽ thỏa mãn tính chất sau: i² = - 1

Đồng thời số thực mở rộng , là những số được viết dưới dạng z = a + bi ; Trong đó :

( a ) là những số thực nằm trong trường số thực R

( b ) là những số thực nằm trong trường số thực mở rộng R’

( a ) được gọi là phần thực của ( z ) thuộc R

( b ) được gọi là phần thực của ( z ) thuộc R’

Có hiệu chỉnh lại như vậy ,chúng ta sẽ dễ dàng biểu diễn các giá trị được kết hợp giữa hai trường số thực R và trường số thực mở rộng R’ , trên cùng một biểu đồ toán học, mà không mang tính trừu tượng ,phi thực tế và khó hiểu như “ Nền tảng toán học cũ ” , đã dùng và gọi đó là “ Số ảo” .

mỗi một số phức z = a + bi ; được biểu diễn bằng một điểm ( a , b ) trên mặt phẳng tọa độ .

như vậy hoành độ của điểm , là phần thực của z thuộc R . Trục hoành được gọi là trục thực R.

Tung độ của điểm , là phần thực mở rộng của z thuộc R’ .Trục tung được gọi là trục thực mở rộng R’.

Khoảng cách từ góc tọa độ đến z , được gọi là mođun của z và được ký hiệu /z/

Nếu ta gọi alpha(

) là góc hợp giữa véctơ Oz với trục hoành , thì hiển nhiên ta có

a = /z/ cos

b = /z/ sin

Vậy z = /z/ cos

+ i /z/ sin

3/Các phép toán đối với số phức :

khi thực hiện các phép toán đối với các số phức , ta thực hiện giống như đối với các đa thức , chỉ có chổ nào xuất hiện i² ta thay bằng -1 .

Để áp dụng số phức vào các phép toán , tôi xin được áp dụng số phức vào hai phép toán đơn giản là :

a/ Phép cộng hai số phức :

Cho : z₁ = a₁ + b₁.i

z₂ = a₂ + b₂.i

Tổng của z_1,z₂ là số phức

z = z₁+ z₂= (a₁ + a₂) + (b₁+ b₂)i

Hiệu của z_1,z₂ là số phức

z = z₁— z₂= (a₁ — a₂) + (b₁— b₂)i

Ví dụ : nếu

z₁= 3 + 2i

z₂= 2 — i

thì

z₁+ z₂= 5 + i

z₁— z₂=1 + 3i

b/ Phép nhân hai số phức

Ta tiến hành nhân hai số phức z₁=( a₁ + b₁.i), z₂ = (a₂ + b₂.i) , như nhân hai đa thức và chỗ nào xuất hiện i² ta thay bằng —1. Do đó:

z₁. z₂ = (a₁ + b₁.i).(a₂ + b₂.i)

= a₁a₂ + a₁b₂.i + a₂b₁.i + b₁b₂i²

=(a₁a₂ — b₁b₂ ) + (a₁b₂ + a₂b₁.)i

Vậy tích của hai số phức z₁=( a₁ + b₁.i), z₂ = (a₂ + b₂.i) là một số phức :

z = z₁. z₂ = (a₁a₂ — b₁b₂ ) + (a₁b₂ + a₂b₁)i

Ví dụ:

Nếu z₁= 3 + 2i

z₂= 2 — i

thì z₁. z₂ = (3 + 2i).(2 — i) = 6 — 3i + 4i — 2i² = 8 + i

Hai số phức z = a + bi và

= a — bi là hai số phức liên hợp của nhau. Ta thấy :

z. = (a + bi).(a — bi)

= a² — abi + abi — b²i²

= a² + b² = IzI²= I

I²

Vậy ta có tích của hai số phức liên hợp thì bằng bình phương mođun của chúng.

· Các ví dụ trên , chỉ là những ví dụ áp dụng “ Số phức ” vào những phép toán đơn giản . Nếu muốn đi sâu vào các phép toán phức tạp hơn , các bạn có thể xem phần ứng dụng số phức , trong các giáo trình nói về “ Số phức ” , của các sách “ Toán cũ ” , các bạn sẽ rõ hơn .

· Trong phần áp dụng “ Luận điểm toán mới ” vào số phức , tôi chỉ sửa đổi phần cơ bản “Nền tảng ban đầu của số phức ” , nhầm bỏ đi cái “ giá trị ảo ” mà “ nền tảng toán học cũ ” thường dùng một cách “ sai lệch ” còn toàn bộ phần ứng dụng của số phức vào trong toán học không có gì thay đổi.

Nhưng các bạn nên nhớ , theo “ Luận điểm toán mới ” của tôi , thì tất cả những giá trị của toán học điều là “ Giá trị thực ” , đúng với tinh thần toán học , đúng với tự nhiên lẫn thực tế . Đồng thời không mang bất kỳ tính “ Phép thuật biến hóa ” , hay trừu tượng , có thể đổi trắng thay đen , như từ nào đến giờ “ Nền tảng toán học cũ ” , vẫn thường hay sử dụng .

F / KẾT LUẬN :

Thưa toàn thể các nhà toán học VIỆT NAM nói riêng và các nhà toán học trên thế giới nói chung ,với cách hiệu chỉnh lại “ Nền tảng toán học cũ ” , đồng thời trả lại cho “ Nền tảng toán học ” các giá trị thực, không còn mang nặng tính trừu tượng, phi thực tế khó hiểu và không thể lý giải được . Đồng nghĩa với việc đem lại cho “ Nền tảng toán học ” tính hiện thực , đơn giản , dễ hiểu , chính xác và mang tính logic, đúng nghĩa của toán học . Đồng thời chúng ta có thể thoải mái hơn nữa , trong cách khai triển toán học một cách không giới hạn , ví dụ như chúng ta không những có thể khai triển giá trị i² = - 1 ; Mà chúng ta có thể áp dụng cho mọi trường hợp “ Toán học cao cấp hơn ” trong tương lai , kể cả khi phương trình giải ra nghiệm là phép toán trừ(-) vẫn được chấp nhận . Đó là những gì mà tôi muốn đóng góp một ít cho “ Nền tảng toán học ” của “ Nhân loại ” .

Luận điểm “ Sai lệch toán học ” do tôi đưa ra trên đây . chỉ là những viên gạch đầu tiên , tạo nên một nền tảng toán học theo hướng mới . Đồng thời ý tưởng đó chỉ là ý kiến , cũng như sự trình bày của riêng cá nhân , nên ít nhiều còn nhiều thiếu sót. Đôi khi đó cũng là một ý tưởng , có thể được đại đa số cho đó là

“ Hoang tưởng ” . Nhưng riêng đối với cá nhân tôi , khi phát hiện ra những gì mà mình cho là không đúng theo cách nghĩ của mình , thì cứ mạnh dạn đưa ra , còn vấn đề việc làm đó “ Đúng hay sai ” , tuỳ theo sự xem xét và đánh giá của các nhà khoa học đương đại hiện nay , hay các nhà khoa học trong tương lai . Nếu cảm thấy những vấn đề mà tôi đưa ra hữu ích cho “ Toán học ” , thì các nhà toán học của “ VIỆT NAM ” nói riêng và các nhà toán học trên “ Thế giới ” nói chung , nên cùng nhau chung sức sửa đổi lại “ Nền tảng toán học ” , cho đúng với tự nhiên cũng như thực tế . Nhầm tránh tình trạng :

“ Tự nhiên bảo Gà , toán nhà nói Vịt ”

Đồng thời để tránh tình trạng , khi các nhà khoa học dựa vào cái “ Nền tảng toán học sai lệch ” , áp dụng vào nghiên cứu Tự nhiên và thực tế sẽ bị “ Sai lệch ” theo . Mà đơn cử như ở phần trên , tôi đã đưa ra một nhân vật tiêu biểu , là nhà Bác học nổi tiếng trên Thế giới là Albert Einstein , khi dựa vào cái “ Nền tảng toán học sai lệch ” , đã đưa ra “ Thuyết tương đối rộng ” , nói về độ “ Cong không thời gian ” , mà cho đến ngày hôm nay trải qua cả thế kỷ , vẫn còn làm đau đầu cho các nhà khoa học đương đại.

Còn nếu như các bạn nhận thấy việc làm của tôi “ Sai “ , thì nên chỉ ra cho tôi thấy được những sai sót và yếu kém , để tôi được học hỏi , xin chân thành cám ơn .TVT .

T/B : Trong cách trình bày , đôi khi có sự lập lại cùng một vấn đề , hay cùng một ví dụ , bởi vì tôi cho rằng

“ Nền tảng toán học cũ ” , đã ăn sâu và mọc rể vào tiềm thức của nhân loại , nên tôi cần phải nhấn mạnh hơn những vấn đề trọng điểm . Đồng thời có một số quy ước toán học , tôi vẫn sử dụng lại một số quy ước , hay kí hiệu của “ Toán học cũ ”

, để các bạn dễ hiểu hơn .

Đây là bài hiệu chỉnh lại “ Sai lệch toán học ” do tôi đưa ra lần đầu vào năm 2004

Ghi chú :

a/ Khi sử dụng "phương pháp toán mới" chúng ta sẽ thuận lợi hơn, so với "phép toán học cũ" ,trong việc xây dựng hệ trục tọa độ. Nghĩa là trong toán học có "N" phép toán chúng ta sẽ xây dựng được "N" hệ trục tọa độ .

b/ Nếu sử dụng "phương pháp toán mới" áp dụng vào máy tính,tốc độ tính toán của máy tính sẽ chạy nhanh hơn khi sữ dụng "phương pháp toán cũ"

Còn một số đề tài nghiên cứu , sẽ được tôi triển khai trong thời gian tới bao gồm :

1/ “ Không gian và thời gian ” , liên quan đến thuyết tương đối của nhà bác học Albert Einstein

2/ Sự hình thành nên Vũ trụ

3/ Phương trình xác định vị trí các ( Sao )

4/ Phương pháp phòng và chữa cháy rừng

5/ Lò xo thế hệ mới

6/ Hệ thức E = MC² ; đúng , sai như thế nào ?

Phần 2

A / LỜI THIỆU :

Thưa toàn thể các bạn , từ khi “ Vũ trụ ” được hình thành , thì hai phạm trù “ không gian và thời gian ” , cũng được bắt đầu và hình thành theo . Cũng từ khi con người xuất hiện cho đến ngày hôm nay ,trải qua bao nhiêu thế kỷ , nhân loại cùng tồn tại và đồng hành với hai phạm trù “ không gian và thời gian ” . Nhưng để hiểu rõ được hai phạm trù “ không gian và thời gian ” , tưởng chừng thật đơn giản đó , thì cho đến ngày hôm nay vẫn làm đau đầu các nhà khoa học nói riêng , cũng như toàn thể nhân loại nói chung .

Cùng với đà phát triển , cũng như từ nhận thức của nhân loại qua nhiều thời kỳ khác nhau , mà hai phạm trù không gian và thời gian đó , được cảm nhận theo mổi cách khác nhau . Mà rõ nét nhất hai phạm trù “ không gian và thời gian ” đã được hai nhà khoa học hàng đầu trên thế giới một là I.Newton và hai là Albert Einstein , tiêu biểu cho hai trường phái .

Một là trường phái cổ điển mà đại diện là nhà bác học nổi tiếng I.Newton sống ở thế kỷ 16 cho rằng :

“ Không gian tuyệt đối được trải dài trong thời gian tuyệt đối ” hay ngược lại .

Nghĩa là nhà bác học Newton cho rằng “ không thời gian ” ở bất cứ nơi nào trông vũ trụ đều như nhau .

Hai là trường phái cận đại mà đại diện là nhà bác học nổi tiếng Albert Eintein sống ở thế kỷ 19 cho rằng :

“ Không gian và thời gian không mang tính tuyệt đối ” mà chúng chỉ tương đối , nghĩa là theo Einstein , trong vũ trụ “ không thời gian ” ở mổi nơi mổi khác . Hai phạm trù “ Không thời gian ” đó chịu sự chi phối của khối lượng . Nói tóm lại Einstein cho rằng:

“ Khối lượng làm cong không thời gian ”

Đứng trước hai tư tưởng lớn đó các nhà khoa học đương đai cũng hình thành nên hai nhóm đối kháng nhau . Một số đồng tình và ủng hộ thuyết “Không thời gian tuyệt đối ” của nhà bác học I.Newton ,

Một số thì lại nghiên về thuyết “ Không thời gian tương đối ” của nhà bác học Einstein . Sự tranh cải đó đôi khi trở nên quyết liệt , nhưng cho mãi đến ngày hôm nay , hay phạm trù “ Không thời gian ” , vẫn là một bài toán nang giải , mặc dù phần thắng có vẽ nghiên về thuyết tương đối của nhà bác học Einstein .

Khi thuyết tương đối của nhà bác học Einstein ra đời , thì gặp ngay sự chống đối của giới khoa học đương thời , khi mà từ thuyết tương đối đó đưa ra một hệ quả mang ý nghĩa thật kỳ hoặc như sau :

Gĩa sử nếu chúng ta ngồi trên chiếc phi thuyền di chuyển với tốc độ nhanh hơn vận tốc ánh sang thì : “ Chúng ta sẽ được sinh ra trước tương lai và nhìn ngược về quá khứ ” .

Các nhà khoa học biết rằng , từ một lý thuyết mà đưa đến một hệ quả mang tính nghịch lý như vậy là không thể chấp nhận được . Nhưng để chỉ ra được những điểm " sai trái " của thuyết tương đối , thì cho đến ngày hôm nay chưa một ai đủ khả năng chỉ ra được những điểm " sai " đó . Mà như chúng ta biết rằng trong khoa học , nếu một lý thuyết đưa ra mà không ai đủ khả năng chỉ ra được những điểm sai thì phải chấp nhận , mặc dù cho đến ngày hôm nay lý thuyết đó chưa được kiểm chứng một cách cụ thể và chặc chẻ , mà chỉ được một vài thực nghiệm có vẽ như nghiên về lý thuyết tương đối .

Thuyết “ không thời gian tương đối ” , được nhà bác học Einstein giải thích như sau :

Một vật khi di chuyển từ điểm A cho đến điểm B phải tốn một khoảng thời gian . Nghĩa là khi vật di chuyển thì mới tiêu tốn thời gian , tương ứng với công thức : s = v . t

Được giải thích như sau : Một vật di chuyển với vận tốc v , muốn thực hiện được một quãng đường là s thì phải tốn một khoảng thời gian là t .

Đứng trước cách suy luận mang tính tưởng chừng thật logic thật toán học như tôi vừa trình bày ở trên thì chúng ta khó thể nào tìm được một khe hở nào để phản biện lại . đồng thời khi mà lý thuyết tương đối đó lại được đa số các nhà khoa học đương đại ủng hộ mà một trong các nhà khoa học cổ vũ mạnh mẽ nhất là nhà khoa học nổi tiếng và được mệnh danh là Einstein của nước Anh là Stephen Hawking . Ông đã bỏ ra hầu như suốt cả quãng đời của minh để kế tục những nghiên cứu còn dang dở của nhà bác học Einstein về

“ Trường thống nhất ” . Ông viết một quyển sách được bán chạy nhất trong các sách khoa học hiện hành , đó là tác phẩm “ Lược sử thời gian ” . Trong suốt từ đầu tới cuối quyển sách thì hai phạm trù “ Không thời gian” được tác giả phân tích và giải thích thật cặn kẻ và sinh động nhằm làm cho người đọc hiểu thế nào là “ không gian ” và thế nào là “ thời gian ” .

Sau đây tôi xin được trích dẫn lại một phần “ Không thời gian ” trong cuốn “ Lược sử thời gian ” để các bạn nếu chưa có dịp xem qua tác phẩm đó sẽ phần nào hiểu được ý tác giả muốn thể hiện hai phạm trù “ Không thời gian ” đó như thế nào:

Stephen Hawking

Lược sử thời gian

Chương 2

Không gian và thời gian

Những ý niệm của chúng ta hiện nay về chuyển động của vật thể bắt nguồn từ Galileo và Newton. Trước họ, người ta tin Aristotle, người đã nói rằng trạng thái tự nhiên của một vật là đứng yên, và nó chỉ chuyển động dưới tác dụng của một lực hoặc một xung lực. Từ đó suy ra rằng, vật nặng sẽ rơi nhanh hơn vật nhẹ, bởi vì nó có một lực kéo xuống đất lớn hơn.

Truyền thống Aristotle cũng cho rằng người ta có thể rút ra tất cả các định luật điều khiển vũ trụ chỉ bằng tư duy thuần túy, nghĩa là không cần kiểm tra bằng quan sát. Như vậy, cho tới tận Galileo không có ai băn khoăn thử quan sát xem có thực là các vật có trọng lượng khác nhau sẽ rơi với vận tốc khác nhau hay không. Người ta kể rằng Galieo đã chứng minh niềm tin của Aristotle là sai bằng cách thả những vật có trọng lượng khác nhau từ tháp nghiêng Pisa. Câu chuyện này chắn hẳn là không có thật, nhưng Galileo đã làm một việc tương đương: ông thả những viên bi có trọng lượng khác nhau trên một mặt phẳng nghiêng nhẵn. Tình huống ở đây cũng tương tự như tình huống của các vật rơi theo phương thẳng đứng, nhưng có điều nó dễ quan sát hơn vì vận tốc của các vật nhỏ hơn. Các phép đo của Galileo chỉ ra rằng các vật tăng tốc với một nhịp độ như nhau bất kể trọng lượng của nó bằng bao nhiêu. Ví dụ, nếu bạn thả một viên bi trên một mặt phẳng nghiêng có độ nghiêng sao cho cứ 10 m dọc theo mặt phẳng thì độ cao lại giảm 1m, thì viên bi sẽ lăn xuống với vận tốc 1m/s sau 1 giây, 2m/s sau 2 giây... bất kể viên bi nặng bao nhiêu. Tất nhiên, viên bi bằng chì sẽ rơi nhanh hơn một chiếc lông chim, nhưng chiếc lông chim bị làm chậm lại chỉ vì sức cản của không khí mà thôi. Nếu thả hai vật không chịu nhiều sức cản không khí, ví dụ như hai viên bi đều bằng chì, nhưng có trọng lượng khác nhau, thì chúng sẽ rơi nhanh như nhau.
Những phép đo của Galileo đã được Những phép đo của Galileo đã được Newton sử dụng làm cơ sở cho những định luật về chuyển động của ông. Trong những thực nghiệm của Galileo, khi một vật lăn trên mặt phẳng nghiêng, nó luôn luôn chịu tác dụng của cùng một lực (là trọng lực của nó) và kết quả là làm cho vận tốc của nó tăng một cách đều đặn. Điều đó chứng tỏ rằng, hậu quả thực sự của một lực là luôn luôn làm thay đổi vận tốc của một vật, chứ không phải là làm cho nó chuyển động như người ta nghĩ trước đó. Điều này cũng có nghĩa là, bất cứ khi nào vật không chịu tác dụng của một lực, thì nó vẫn tiếp tục chuyển động thẳng với cùng một vận tốc. Ý tưởng này đã được phát biểu một cách tường minh lần đầu tiên trong cuốn Principia Mathematica (Các nguyên lý toán học), được công bố năm 1867, của Newton và sau này được biết như định luật thứ nhất của Newton. Định luật thứ hai của Newton cho biết điều gì sẽ xảy ra đối với một vật khi có một lực tác dụng lên nó. Định luật này phát biểu rằng vật sẽ có gia tốc, hay nói cách khác là sẽ thay đổi vận tốc tỷ lệ với lực tác dụng lên nó. (Ví dụ, gia tốc sẽ tăng gấp đôi, nếu lực tác dụng tăng gấp đôi). Gia tốc cũng sẽ càng nhỏ nếu khối lượng (lượng vật chất) của vật càng lớn.(Cùng một lực tác dụng lên vật có khối lượng lớn gấp hai lần sẽ tạo ra một gia tốc nhỏ hơn hai lần). Một ví dụ tương tự lấy ngay từ chiếc ô tô: động cơ càng mạnh thì gia tốc càng lớn, nhưng với cùng một động cơ, xe càng nặng thì gia tốc càng nhỏ.
Ngoài những định luật về chuyển động, Ngoài những định luật về chuyển động, Newton còn phát minh ra định luật về lực hấp dẫn. Định luật này phát biểu rằng mọi vật đều hút một vật khác với một lực tỉ lệ với khối lượng của mỗi vật. Như vậy lực giữa hai vật sẽ mạnh gấp đôi nếu một trong hai vật (ví dụ vật A) có khối lượng tăng gấp hai. Đây là điều bạn cần phải trông đợi bởi vì có thể xem vật mới A được làm từ hai vật có khối lượng ban đầu, và mỗi vật đó sẽ hút vật B với một lực ban đầu. Như vậy lực tổng hợp giữa A và B sẽ hai lần lớn hơn lực ban đầu. Và nếu, ví dụ, một trong hai vật có khối lượng hai lần lớn hơn và vật kia có khối lượng ba lần lớn hơn thì lực tác dụng giữa chúng sẽ sáu lần mạnh hơn. Bây giờ thì ta có thể hiểu tại sao các vật lại rơi với một gia tốc như nhau: một vật có trọng lượng lớn gấp hai lần sẽ chịu một lực hấp dẫn kéo xuống mạnh gấp hai lần, nhưng nó lại có khối lượng lớn gấp hai lần. Như vậy theo định luật 2 của Newton, thì hai kết quả này bù trừ chính xác cho nhau, vì vậy gia tốc của các vật là như nhau trong mọi trường hợp.
Định luật hấp dẫn của Định luật hấp dẫn của Newton cũng cho chúng ta biết rằng các vật càng ở xa nhau thì lực hấp dẫn càng nhỏ. Ví dụ, lực hút hấp dẫn của một ngôi sao đúng bằng một phần tư lực hút của một ngôi sao tương tự, nhưng ở khoảng cách giảm đi một nửa. Định luật này tiên đoán quỹ đạo của trái đất, mặt trăng và các hành tinh với độ chính xác rất cao. Nếu định luật này khác đi, chẳng hạn, lực hút hấp dẫn của một ngôi sao giảm theo khoảng cách nhanh hơn, thì quỹ đạo của các hành tinh không còn là hình elip nữa, mà chúng sẽ là những đường xoắn ốc về phía mặt trời. Nếu lực đó lại giảm chậm hơn, thì lực hấp dẫn từ các ngôi sao xa sẽ lấn át lực hấp dẫn từ mặt trời.
Sự khác biệt to lớn giữa những tư tưởng của Aristotle và những tư tưởng của Galileo và Newton là ở chỗ Aristotle tin rằng trạng thái đứng yên là trạng thái được “ưa thích” hơn của mọi vật - mọi vật sẽ lấy trạng thái đó, nếu không có một lực hoặc xung lực nào tác dụng vào nó. Đặc biệt, ông cho rằng trái đất là đứng yên. Nhưng từ những định luật của Sự khác biệt to lớn giữa những tư tưởng của Aristotle và những tư tưởng của Galileo và Newton là ở chỗ Aristotle tin rằng trạng thái đứng yên là trạng thái được “ưa thích” hơn của mọi vật - mọi vật sẽ lấy trạng thái đó, nếu không có một lực hoặc xung lực nào tác dụng vào nó. Đặc biệt, ông cho rằng trái đất là đứng yên. Nhưng từ những định luật của Newton suy ra rằng không có một tiêu chuẩn đơn nhất cho sự đứng yên. Người ta hoàn toàn có quyền như nhau khi nói rằng, vật A là đứng yên và vật B chuyển động với vận tốc không đổi đối với vật A hoặc vật B là đứng yên và vật A chuyển động. Ví dụ, nếu tạm gác ra một bên chuyển động quay của trái đất quanh trục của nó và quỹ đạo của nó xung quanh mặt trời, người ta có thể nói rằng trái đất là đứng yên và đoàn tàu trên nó chuyển động về phía bắc với vận tốc 90 dặm một giờ hoặc đoàn tàu là đứng yên còn trái đất chuyển động về phía nam cũng với vận tốc đó. Nếu người ta tiến hành những thí nghiệm của chúng ta với các vật chuyển động trên con tàu đó thì tất cả các định luật của Newton vẫn còn đúng. Ví dụ, khi đánh bóng bàn trên con tàu đó, người ta sẽ thấy rằng quả bóng vẫn tuân theo các định luật của Newton hệt như khi bàn bóng đặt cạnh đường ray. Như vậy không có cách nào cho phép ta nói được là con tàu hay trái đất đang chuyển động.
Việc không có một tiêu chuẩn tuyệt đối cho sự đứng yên có nghĩa là người ta không thể xác định được hai sự kiện xảy ra ở hai thời điểm khác nhau có cùng ở một vị trí trong không gian hay không. Ví dụ, giả sử quả bóng bàn trên con tàu nảy lên và rơi xuống chạm bàn ở cùng một chỗ sau khoảng thời gian 1 giây. Đối với người đứng cạnh đường ray thì hai lần chạm bàn đó xảy ra ở hai vị trí cách nhau 40 m vì con tàu chạy được quãng đường đó trong khoảng thời gian giữa hai lần quả bóng chạm bàn. Sự không tồn tại sự đứng yên tuyệt đối, vì vậy, có nghĩa là người ta không thể gán cho một sự kiện một vị trí tuyệt đối trong không gian, như Aristotle đã tâm niệm. Vị trí của các sự kiện và khoảng cách giữa chúng là khác nhau đối với người ở trên tàu và người đứng cạnh đường ray và chẳng có lý do gì để thích vị trí của người này hơn vị trí của người kia.Việc không có một tiêu chuẩn tuyệt đối cho sự đứng yên có nghĩa là người ta không thể xác định được hai sự kiện xảy ra ở hai thời điểm khác nhau có cùng ở một vị trí trong không gian hay không. Ví dụ, giả sử quả bóng bàn trên con tàu nảy lên và rơi xuống chạm bàn ở cùng một chỗ sau khoảng thời gian 1 giây. Đối với người đứng cạnh đường ray thì hai lần chạm bàn đó xảy ra ở hai vị trí cách nhau 40 m vì con tàu chạy được quãng đường đó trong khoảng thời gian giữa hai lần quả bóng chạm bàn. Sự không tồn tại sự đứng yên tuyệt đối, vì vậy, có nghĩa là người ta không thể gán cho một sự kiện một vị trí tuyệt đối trong không gian, như Aristotle đã tâm niệm. Vị trí của các sự kiện và khoảng cách giữa chúng là khác nhau đối với người ở trên tàu và người đứng cạnh đường ray và chẳng có lý do gì để thích vị trí của người này hơn vị trí của người kia.Newton là người rất băn khoăn về sự không có vị trí tuyệt đối, hay như người ta vẫn gọi là không có không gian tuyệt đối, vì điều đó không phù hợp với ý niệm của ông về Thượng đế tuyệt đối. Thực tế, Newton đã chối bỏ, không chấp nhận sự không tồn tại của không gian tuyệt đối, mặc dù thậm chí điều đó đã ngầm chứa trong những định luật của ông. Ông đã bị nhiều người phê phán nghiêm khắc vì niềm tin phi lý đó, mà chủ yếu nhất là bởi Giám mục Berkeley, một nhà triết học tin rằng mọi đối tượng vật chất và cả không gian lẫn thời gian chỉ là một ảo ảnh. Khi người ta kể cho tiến sĩ Johnson nổi tiếng về quan điểm của Berkeley, ông kêu lớn: “Tôi sẽ bác bỏ nó như thế này này!” và ông đá ngón chân cái vào một hòn đá lớn.
Cả Aristotle lẫn Cả Aristotle lẫn Newton đều tin vào thời gian tuyệt đối. Nghĩa là, họ tin rằng người ta có thể đo một cách đàng hoàng khoảng thời gian giữa hai sự kiện, rằng thời gian đó hoàn toàn như nhau dù bất kỳ ai tiến hành đo nó, miễn là họ dùng một chiếc đồng hồ tốt. Thời gian hoàn toàn tách rời và độc lập với không gian. Đó là điều mà nhiều người xem là chuyện thường tình. Tuy nhiên, đến lúc chúng ta phải thay đổi những ý niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Mặc dù những quan niệm thông thường đó của chúng ta vẫn có kết quả tốt khi đề cập tới các vật như quả táo hoặc các hành tinh là những vật chuyển động tương đối chậm, nhưng chúng sẽ hoàn toàn không dùng được nữa đối với những vật chuyển động với vận tốc bằng hoặc gần bằng vận tốc ánh sáng.
Năm 1676, nhà thiên văn học Đan Mạch Ole Christensen Roemer là người đầu tiên phát hiện ra rằng ánh sáng truyền với vận tốc hữu hạn, mặc dù rất lớn. Ông quan sát thấy rằng thời gian để các mặt trăng của sao Mộc xuất hiện sau khi đi qua phía sau của hành tinh đó không cách đều nhau như người ta chờ đợi, nếu các mặt trăng đó chuyển động vòng quanh sao Mộc với vận tốc không đổi. Khi trái đất và sao Mộc quanh xung quanh mặt trời, khoảng cách giữa chúng thay đổi. Roemer thấy rằng sự che khuất các mặt trăng của sao Mộc xuất hiện càng muộn khi chúng ta càng ở xa hành tinh đó. Ông lý luận rằng điều đó xảy ra là do ánh sáng từ các mặt trăng đó đến chúng ta mất nhiều thời gian hơn khi chúng ta ở xa chúng hơn. Tuy nhiên, do những phép đo của ông về sự biến thiên khoảng cách giữa trái đất và sao Mộc không được chính xác lắm, nên giá trị vận tốc ánh sáng mà ông xác định được là 140.000 dặm/s, trong khi giá trị hiện nay đo được của vận tốc này là 186.000 dặm/s (khoảng 300.000 km/s). Dù sao thành tựu của Roemer cũng rất đáng kể, không chỉ trong việc chứng minh được rằng vận tốc của ánh sáng là hữu hạn, mà cả trong việc đo được vận tốc đó, đặc biệt nó lại được thực hiện 11 năm trước khi Newton cho xuất bản cuốn Principia Mathematica.
Một lý thuyết đích thực về sự truyền ánh sáng phải mãi tới năm 1865 mới ra đời, khi nhà vật lý người Anh James Clerk Maxwell đã thành công thống nhất hai lý thuyết riêng phần cho tới thời gian đó vẫn được dùng để mô tả riêng biệt các lực điện và từ. Các phương trình của Maxwell tiên đoán rằng có thể có những nhiễu động giống như sóng trong một trường điện từ kết hợp, rằng những nhiễu động đó sẽ được truyền với một vận tốc cố định giống như những gợn sóng trên hồ. Nếu bước sóng của những sóng đó (khoảng cách của hai đỉnh sóng liên tiếp) là một mét hoặc lớn hơn, thì chúng được gọi là sóng radio (hay sóng vô tuyến). Những sóng có bước sóng ngắn hơn được gọi là sóng cực ngắn (với bước sóng vài centimet) hoặc sóng hồng ngoại (với bước sóng lớn hơn mười phần ngàn centimet). Ánh sáng thấy được có bước sóng nằm giữa bốn mươi phần triệu đến tám mươi phần triệu centimet. Những sóng có bước sóng còn ngắn hơn nữa là tia tử ngoại, tia - X và các tia gamma.
Lý thuyết của Maxwell tiên đoán các sóng vô tuyến và sóng ánh sáng truyền với một vận tốc cố định nào đó. Nhưng lý thuyết của Năm 1676, nhà thiên văn học Đan Mạch Ole Christensen Roemer là người đầu tiên phát hiện ra rằng ánh sáng truyền với vận tốc hữu hạn, mặc dù rất lớn. Ông quan sát thấy rằng thời gian để các mặt trăng của sao Mộc xuất hiện sau khi đi qua phía sau của hành tinh đó không cách đều nhau như người ta chờ đợi, nếu các mặt trăng đó chuyển động vòng quanh sao Mộc với vận tốc không đổi. Khi trái đất và sao Mộc quanh xung quanh mặt trời, khoảng cách giữa chúng thay đổi. Roemer thấy rằng sự che khuất các mặt trăng của sao Mộc xuất hiện càng muộn khi chúng ta càng ở xa hành tinh đó. Ông lý luận rằng điều đó xảy ra là do ánh sáng từ các mặt trăng đó đến chúng ta mất nhiều thời gian hơn khi chúng ta ở xa chúng hơn. Tuy nhiên, do những phép đo của ông về sự biến thiên khoảng cách giữa trái đất và sao Mộc không được chính xác lắm, nên giá trị vận tốc ánh sáng mà ông xác định được là 140.000 dặm/s, trong khi giá trị hiện nay đo được của vận tốc này là 186.000 dặm/s (khoảng 300.000 km/s). Dù sao thành tựu của Roemer cũng rất đáng kể, không chỉ trong việc chứng minh được rằng vận tốc của ánh sáng là hữu hạn, mà cả trong việc đo được vận tốc đó, đặc biệt nó lại được thực hiện 11 năm trước khi Newton cho xuất bản cuốn Principia Mathematica.Một lý thuyết đích thực về sự truyền ánh sáng phải mãi tới năm 1865 mới ra đời, khi nhà vật lý người Anh James Clerk Maxwell đã thành công thống nhất hai lý thuyết riêng phần cho tới thời gian đó vẫn được dùng để mô tả riêng biệt các lực điện và từ. Các phương trình của Maxwell tiên đoán rằng có thể có những nhiễu động giống như sóng trong một trường điện từ kết hợp, rằng những nhiễu động đó sẽ được truyền với một vận tốc cố định giống như những gợn sóng trên hồ. Nếu bước sóng của những sóng đó (khoảng cách của hai đỉnh sóng liên tiếp) là một mét hoặc lớn hơn, thì chúng được gọi là sóng radio (hay sóng vô tuyến). Những sóng có bước sóng ngắn hơn được gọi là sóng cực ngắn (với bước sóng vài centimet) hoặc sóng hồng ngoại (với bước sóng lớn hơn mười phần ngàn centimet). Ánh sáng thấy được có bước sóng nằm giữa bốn mươi phần triệu đến tám mươi phần triệu centimet. Những sóng có bước sóng còn ngắn hơn nữa là tia tử ngoại, tia - X và các tia gamma.Lý thuyết của Maxwell tiên đoán các sóng vô tuyến và sóng ánh sáng truyền với một vận tốc cố định nào đó. Nhưng lý thuyết của Newton đã gạt bỏ khái niệm đứng yên tuyệt đối, vì vậy nếu ánh sáng được giả thiết là truyền với một vận tốc cố định, thì cần phải nói vận tốc cố định đó là đối với cái gì. Do đó người ta cho rằng có một chất gọi là “ether” có mặt ở khắp mọi nơi, thậm chí cả trong không gian “trống rỗng”. Các sóng ánh sáng truyền qua ether như sóng âm truyền trong không khí, và do vậy, vận tốc của chúng là đối với ether. Những người quan sát khác nhau chuyển động đối với ether sẽ thấy ánh sáng đi tới mình với những vận tốc khác nhau, nhưng vận tốc của ánh sáng đối với ether luôn luôn có một giá trị cố định. Đặc biệt, vì trái đất chuyển động qua ether trên quỹ đạo quay quanh mặt trời, nên vận tốc của ánh sáng được đo theo hướng chuyển động của trái đất qua ether (khi chúng ta chuyển động tới gần nguồn sáng) sẽ phải lớn hơn vận tốc của ánh sáng hướng vuông góc với phương chuyển động (khi chúng ta không chuyển động hướng tới nguồn sáng). Năm 1887, Albert Michelson (sau này trở thành người Mỹ đầu tiên nhận được giải thưởng Nobel về vật lý) và Edward Morley đã thực hiện một thực nghiệm rất tinh xảo tại trường Khoa học ứng dụng Case ở Cleveland. Họ đã so sánh vận tốc ánh sáng theo hướng chuyển động của trái đất với vận tốc ánh sáng hướng vuông góc với chuyển động của trái đất. Và họ đã vô cùng ngạc nhiên khi thấy rằng hai vận tốc đó hoàn toàn như nhau!
Giữa năm 1887 và năm 1905 có một số ý định, mà chủ yếu là của vật lý người Hà Lan Hendrik Lorentz, nhằm giải thích kết quả của thí nghiệm Michelson - Morley bằng sự co lại của các vật và sự chậm lại của đồng hồ khi chúng chuyển động qua ether. Tuy nhiên, trong bài báo công bố vào năm 1905, Albert Einstein, một nhân viên thuộc văn phòng cấp bằng sáng chế phát minh ở Thụy Sĩ, người mà trước đó còn chưa ai biết tới, đã chỉ ra rằng toàn bộ ý tưởng về ether là không cần thiết nếu người ta sẵn lòng vứt bỏ ý tưởng về thời gian tuyệt đối. Quan niệm tương tự cũng đã được một nhà toán học hàng đầu của Pháp là Henri Poincaré đưa ra chỉ ít tuần sau. Tuy nhiên, những lý lẽ của Einstein gần với vật lý hơn Poincaré, người đã xem vấn đề này như một vấn đề toán học. Công lao xây dựng nên lý thuyết mới này thường được thừa nhận là của Einstein, nhưng Poincaré vẫn thường được nhắc nhở tới và tên tuổi của ông gắn liền với một phần quan trọng của lý thuyết đó.
Tiên đề cơ bản của lý thuyết mới - mà người ta thường gọi là thuyết tương đối - được phát biểu như sau: mọi định luật của khoa học là như nhau đối với tất cả những người quan sát chuyển động tự do bất kể vận tốc của họ là bao nhiêu. Điều này đúng đối với các định luật của Newton về chuyển động, nhưng bây giờ lý thuyết đó được mở rộng ra bao hàm cả lý thuyết của Maxwell và vận tốc ánh sáng: mọi người quan sát đều đo được vận tốc ánh sáng có giá trị hoàn toàn như nhau bất kể họ chuyển động nhanh, chậm như thế nào. Ý tưởng đơn giản đó có một số hệ quả rất đáng chú ý. Có lẽ nổi tiếng nhất là hệ quả về sự tương đương của khối lượng và năng lượng được đúc kết trong phương trình nổi tiếng của Einstein: E = mc2 và định luật nói rằng không có vật nào có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Vì có sự tương đương giữa năng lượng và khối lượng nên năng lượng mà vật có thể nhờ chuyển động sẽ làm tăng khối lượng của nó. Nói một cách khác, nó sẽ làm cho việc tăng vận tốc của vật trở nên khó khăn hơn.
Hiệu ứng này chỉ trực sự quan trọng đối với các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Ví dụ, vận tốc chỉ bằng 10 % vận tốc ánh sáng khối lượng của vật chỉ tăng 0,5 % so với khối lượng bình thường, trong khi vận tốc bằng 90 % vận tốc ánh sáng khối lượng của nó còn tăng nhanh hơn, vì vậy sẽ càng mất nhiều năng lượng hơn để tăng vận tốc của nó lên nữa. Thực tế không bao giờ có thể đạt tới vận tốc của ánh sáng vì khi đó khối lượng của vật sẽ trở thành vô hạn và do sự tương đương giữa năng lượng và khối lượng, sẽ phải tốn một lượng vô hạn năng lượng để đạt được điều đó. Vì lý do đó, một vật bình thường vĩnh viễn bị tính tương đối giới hạn chuyển động chỉ chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng. Chỉ có ánh sáng hoặc các sóng khác không có khối lượng nội tại là có thể chuyển động với vận tốc ánh sáng.
Một hệ quả cũng đáng chú ý không kém của thuyết tương đối là nó đã làm cách mạng những ý niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Trong lý thuyết của Giữa năm 1887 và năm 1905 có một số ý định, mà chủ yếu là của vật lý người Hà Lan Hendrik Lorentz, nhằm giải thích kết quả của thí nghiệm Michelson - Morley bằng sự co lại của các vật và sự chậm lại của đồng hồ khi chúng chuyển động qua ether. Tuy nhiên, trong bài báo công bố vào năm 1905, Albert Einstein, một nhân viên thuộc văn phòng cấp bằng sáng chế phát minh ở Thụy Sĩ, người mà trước đó còn chưa ai biết tới, đã chỉ ra rằng toàn bộ ý tưởng về ether là không cần thiết nếu người ta sẵn lòng vứt bỏ ý tưởng về thời gian tuyệt đối. Quan niệm tương tự cũng đã được một nhà toán học hàng đầu của Pháp là Henri Poincaré đưa ra chỉ ít tuần sau. Tuy nhiên, những lý lẽ của Einstein gần với vật lý hơn Poincaré, người đã xem vấn đề này như một vấn đề toán học. Công lao xây dựng nên lý thuyết mới này thường được thừa nhận là của Einstein, nhưng Poincaré vẫn thường được nhắc nhở tới và tên tuổi của ông gắn liền với một phần quan trọng của lý thuyết đó.Tiên đề cơ bản của lý thuyết mới - mà người ta thường gọi là thuyết tương đối - được phát biểu như sau: mọi định luật của khoa học là như nhau đối với tất cả những người quan sát chuyển động tự do bất kể vận tốc của họ là bao nhiêu. Điều này đúng đối với các định luật của Newton về chuyển động, nhưng bây giờ lý thuyết đó được mở rộng ra bao hàm cả lý thuyết của Maxwell và vận tốc ánh sáng: mọi người quan sát đều đo được vận tốc ánh sáng có giá trị hoàn toàn như nhau bất kể họ chuyển động nhanh, chậm như thế nào. Ý tưởng đơn giản đó có một số hệ quả rất đáng chú ý. Có lẽ nổi tiếng nhất là hệ quả về sự tương đương của khối lượng và năng lượng được đúc kết trong phương trình nổi tiếng của Einstein: E = mc2 và định luật nói rằng không có vật nào có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Vì có sự tương đương giữa năng lượng và khối lượng nên năng lượng mà vật có thể nhờ chuyển động sẽ làm tăng khối lượng của nó. Nói một cách khác, nó sẽ làm cho việc tăng vận tốc của vật trở nên khó khăn hơn.Hiệu ứng này chỉ trực sự quan trọng đối với các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Ví dụ, vận tốc chỉ bằng 10 % vận tốc ánh sáng khối lượng của vật chỉ tăng 0,5 % so với khối lượng bình thường, trong khi vận tốc bằng 90 % vận tốc ánh sáng khối lượng của nó còn tăng nhanh hơn, vì vậy sẽ càng mất nhiều năng lượng hơn để tăng vận tốc của nó lên nữa. Thực tế không bao giờ có thể đạt tới vận tốc của ánh sáng vì khi đó khối lượng của vật sẽ trở thành vô hạn và do sự tương đương giữa năng lượng và khối lượng, sẽ phải tốn một lượng vô hạn năng lượng để đạt được điều đó. Vì lý do đó, một vật bình thường vĩnh viễn bị tính tương đối giới hạn chuyển động chỉ chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng. Chỉ có ánh sáng hoặc các sóng khác không có khối lượng nội tại là có thể chuyển động với vận tốc ánh sáng.Một hệ quả cũng đáng chú ý không kém của thuyết tương đối là nó đã làm cách mạng những ý niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Trong lý thuyết của Newton, nếu một xung ánh sáng được gửi từ nơi này đến nơi khác thì những người quan sát khác nhau đều nhất trí với nhau về thời gian truyền xung ánh sáng đó (vì thời gian là tuyệt đối). Vì vận tốc ánh sáng chính bằng khoảng cách mà nó truyền được chia cho thời gian đã tốn để đi hết quãng đường đó, nên những người quan sát khác nhau sẽ đo được vận tốc của ánh sáng có giá trị khác nhau. Trong thuyết tương đối, trái lại, mọi người quan sát đều phải nhất trí về giá trị vận tốc của ánh sáng. Tuy nhiên, họ vẫn còn không nhất trí về khoảng cách mà ánh sáng đã truyền, vì vậy họ cũng phải không nhất trí về thời gian mà ánh sáng đã tốn (thời gian này bằng khoảng cách ánh sáng đã truyền - điều mà các nhà quan sát không nhất trí - chia cho vận tốc ánh sáng - điều mà các nhà quan sát đều nhất trí). Nói một cách khác, lý thuyết tương đối đã cáo chung cho ý tưởng về thời gian tuyệt đối! Hóa ra là mỗi người quan sát cần phải có một bộ đo thời gian riêng của mình như được ghi nhận bởi đồng hồ mà họ mang theo và các đồng hồ giống hệt nhau được mang bởi những người quan sát khác nhau không nhất thiết phải chỉ như nhau.Mỗi một người quan sát có thể dùng radar để biết một sự kiện xảy ra ở đâu và khi nào bằng cách gửi một xung ánh sáng hoặc sóng vô tuyến. Một phần của xung phản xạ từ sự kiện trở về và người quan sát đo thời gian mà họ nhận được tiếng dội. Thời gian xảy ra sự kiện khi đó sẽ bằng một nửa thời gian tính từ khi xung được gửi đi đến khi nhận được tiếng dội trở lại, còn khoảng cách tới sự kiện bằng nửa số thời gian cho hai lượt đi-về đó nhân với vận tốc ánh sáng. (Một sư kiện, theo ý nghĩa này, là một điều gì đó xảy ra ở một điểm duy nhất trong không gian và ở một điểm xác định trong thời gian).
Ý tưởng này được minh họa trên hình 2.1, nó là một ví dụ về giản đồ không-thời gian. Dùng thủ tục này, những người quan sát chuyển động đối với nhau sẽ gán cho cùng một sự kiện những thời gian và vị trí khác nhau. Không có những phép đo của người quan sát đặc biệt nào là đúng hơn những người khác, nhưng tất cả các phép đo đều quan hệ với nhau. Bất kỳ một người quan sát nào cũng tính ra được một cách chính xác thời gian và vị trí mà một người quan sát khác gán cho một sự kiện, miễn là người đó biết được vận tốc tương đối của người kia.
Ngày hôm nay để đo khoảng cách một cách chính xác, chúng ta vẫn còn dùng phương pháp nói trên, bởi vì chúng ta có thể đo thời gian chính xác hơn đo chiều dài. Thực tế, mét được định nghĩa là khoảng cách mà ánh sáng đi được trong khoảng thời gian 0,000000003335640952 giây đo theo đồng hồ nguyên tử xesi. (Nguyên nhân dẫn tới con số lạ lùng này là để nó tương ứng với định nghĩa có tính chất lịch sử của mét: là khoảng cách giữa hai vạch trên một cái thước đặc biệt làm bằng bạch kim được giữ ở Mỗi một người quan sát có thể dùng radar để biết một sự kiện xảy ra ở đâu và khi nào bằng cách gửi một xung ánh sáng hoặc sóng vô tuyến. Một phần của xung phản xạ từ sự kiện trở về và người quan sát đo thời gian mà họ nhận được tiếng dội. Thời gian xảy ra sự kiện khi đó sẽ bằng một nửa thời gian tính từ khi xung được gửi đi đến khi nhận được tiếng dội trở lại, còn khoảng cách tới sự kiện bằng nửa số thời gian cho hai lượt đi-về đó nhân với vận tốc ánh sáng. (Một sư kiện, theo ý nghĩa này, là một điều gì đó xảy ra ở một điểm duy nhất trong không gian và ở một điểm xác định trong thời gian).Ý tưởng này được minh họa trên hình 2.1, nó là một ví dụ về giản đồ không-thời gian. Dùng thủ tục này, những người quan sát chuyển động đối với nhau sẽ gán cho cùng một sự kiện những thời gian và vị trí khác nhau. Không có những phép đo của người quan sát đặc biệt nào là đúng hơn những người khác, nhưng tất cả các phép đo đều quan hệ với nhau. Bất kỳ một người quan sát nào cũng tính ra được một cách chính xác thời gian và vị trí mà một người quan sát khác gán cho một sự kiện, miễn là người đó biết được vận tốc tương đối của người kia.Ngày hôm nay để đo khoảng cách một cách chính xác, chúng ta vẫn còn dùng phương pháp nói trên, bởi vì chúng ta có thể đo thời gian chính xác hơn đo chiều dài. Thực tế, mét được định nghĩa là khoảng cách mà ánh sáng đi được trong khoảng thời gian 0,000000003335640952 giây đo theo đồng hồ nguyên tử xesi. (Nguyên nhân dẫn tới con số lạ lùng này là để nó tương ứng với định nghĩa có tính chất lịch sử của mét: là khoảng cách giữa hai vạch trên một cái thước đặc biệt làm bằng bạch kim được giữ ở Paris). Như vậy chúng ta có thể dùng một đơn vị mới thuận tiện hơn, được gọi là giây-ánh-sáng. Nó đơn giản là khoảng cách mà ánh sáng đi được trong một giây. Trong lý thuyết tương đối, bây giờ ta định nghĩa khoảng cách thông qua thời gian và vận tốc ánh sáng, như vậy phải tự động suy ra rằng mọi người quan sát đo vận tốc của ánh sáng sẽ nhận được cùng một giá trị (theo định nghĩa là 1 mét trong 0,000000003335640952 giây). Khỏi cần phải đưa vào khái niệm ether, và lại sự có mặt của nó không thể được ghi nhận bằng cách nào, như thí nghiệm của Michelson - Morley đã chứng tỏ.
Tuy nhiên, lý thuyết tương đối buộc chúng ta phải thay đổi một cách căn bản những ý niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Chúng ta buộc phải chấp nhận rằng thời gian không hoàn toàn tách rời và độc lập với không gian mà kết hợp với nó thành một đối tượng gọi là không - thời gian.
Theo kinh nghiệm thông thường, người ta có thể mô tả vị trí của một điểm trong không gian bằng ba con số, hay nói cách khác là ba tọa độ. Ví dụ, người ta có thể nói: một điểm ở trong phòng cách một bức tường 7 bộ, cách một bức tường khác 3 bộ, và cao so với sàn 5 bộ. Hoặc người ta có thể chỉ rõ một điểm ở kinh tuyến nào, vĩ tuyến bao nhiêu và ở độ cao nào so với mực nước biển. Người ta có thể thoải mái dùng ba tọa độ thích hợp nào mà mình muốn, mặc dù chúng chỉ có phạm vi ứng dụng hạn chế. Chẳng hạn, chúng ta sẽ không chỉ vị trí của mặt trăng bằng khoảng cách theo phương bắc và phương tây so với rạp xiếc Piccadilly và chiều cao của nó so với mực nước biển. Thay vì thế, người ta cần phải mô tả nó qua khoảng cách từ mặt trời, khoảng cách từ mặt phẳng quĩ đạo của các hành tinh và góc giữa đường nối mặt trăng với mặt trời và đường nối mặt trời tới một ngôi sao ở gần như sao Alpha của chòm sao Nhân Mã. Nhưng thậm chí những tọa độ này cũng không được dùng nhiều để mô tả vị trí của mặt trời trong thiên hà của chúng ta hoặc của thiên hà chúng ta trong quần thể thiên hà khu vực. Thực tế, người ta có thể mô tả toàn bộ vũ trụ bằng một tập hợp các mảng gối lên nhau. Trong mỗi một mảng, người ta có thể dùng một tập hợp ba tọa độ khác nhau để chỉ vị trí của các điểm.
Một sự kiện là một cái gì đó xảy ra ở một điểm đặc biệt trong không gian và ở một thời điểm đặc biệt. Như vậy, người ta có thể chỉ nó bằng 4 con số hay là 4 tọa độ. Và lần này cũng thế, việc lựa chọn các tọa độ là tùy ý, người ta có thể dùng ba tọa độ không gian đã biết và một độ đo nào đó của thời gian. Trong thuyết tương đối, không có sự phân biệt thực sự giữa các tọa độ không gian và thời gian, cũng hệt như không có sự khác biệt thực sự giữa hai tọa độ không gian. Người ta có thể chọn một tập hợp tọa độ mới, trong đó, chẳng hạn, tọa độ không gian thứ nhất là tổ hợp của tọa độ không gian cũ thứ nhất và thứ hai. Ví dụ, thay vì đo vị trí của một điểm trên mặt đất bằng khoảng cách theo phương bắc và tây của nó đối với rạp xiếc Piccadilly người ta có thể dùng khoảng cách theo hướng đông bắc và tây bắc đối với Piccadilly. Cũng tương tự như vậy, trong thuyết tương đối, người ta có thể dùng tọa độ thời gian mới là thời gian cũ (tính bằng giây) cộng với khoảng cách (tính bằng giây - ánh sáng) theo hướng bắc của Piccadilly.
Một cách rất hữu ích để suy nghĩ về bốn tọa độ của một sự kiện là chỉ vị trí của nó trong một không gian 4 chiều, được gọi là không -thời gian. Chúng ta không thể tưởng tượng nổi một không gian 4 chiều. Riêng bản thân tôi hình dung một không gian 3 chiều cũng đã vất vả lắm rồi. Tuy nhiên vẽ một sơ đồ về không gian 2 chiều thì lại khá dễ dàng, chẳng hạn như vẽ bề mặt của trái đất (Bề mặt của trái đất là hai chiều vì vị trí của một điểm trên đó có thể được ghi bằng hai tọa độ, kinh độ và vĩ độ). Tôi sẽ thường sử dụng những giản đồ trong đó thời gian tăng theo phương thẳng đứng hướng lên trên, còn một trong những chiều không gian được vẽ theo phương nằm ngang. Hai chiều không gian còn lại sẽ bỏ qua, hoặc đôi khi một trong hai chiều đó được vẽ theo phối cảnh. (Những giản đồ này được gọi là giản đồ không-thời gian, giống như hình 2.1). Ví dụ, trong hình 2.2 thời gianđược đặt hướng lên trên với đơn vị là năm, còn khoảng cách nằm dọc theo đường thẳng nối mặt trời với sao Anpha của chòm sao Nhân mã được đặt nằm ngang với đơn vị là dặm. Những con đường của mặt trời và sao Alpha qua không - thời gian là những con đường thẳng đứng ở bên trái và bên phải của giản đồ. Tia sáng từ mặt trời đi theo đường chéo và phải mất 4 năm mới tới được sao Alpha.
Như chúng ta đã thấy, các phương trình Maxwell tiên đoán rằng vận tốc của ánh sáng sẽ là như nhau bất kể vận tốc của nguồn sáng bằng bao nhiêu, và điều này đã được khẳng định bằng nhiều phép đo chính xác.Điều này suy ra từ sự kiện là nếu một xung ánh sáng được phát ra ở một thời điểm đặc biệt, tại một điểm đặc biệt trong không gian, thì sau đó với thời gian nó sẽ lan ra như một mặt cầu ánh sáng với kích thước và vị trí không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn sáng. Sau một phần triệu giây, ánh sáng sẽ lan truyền, tạo thành một mặt cầu có bán kính 300 mét, sau hai phần triệu giây, bán kính là 600 mét, và cứ như vậy mãi. Điều này cũng giống như những gợn sóng truyền trên mặt nước khi có hòn đá ném xuống hồ.
Những gợn sóng truyền như một vòng tròn cứ lớn dần mãi theo thời gian. Nếu ta nghĩ về một mô hình ba chiều gồm bề mặt hai chiều của hồ và một chiều thời gian thì vòng tròn lớn dần của các gợn sóng sẽ tạo thành một nón có đỉnh nằm đúng tại chỗ và tại thời điểm hòn đá chạm vào mặt nước (hình 2.3). Tương tự, ánh sáng lan truyền từ một sự kiện sẽ tạo nên một mặt nón ba chiều trong không-thời gian 4 chiều. Mặt nón đó được gọi là mặt nón ánh sáng tương lai của sự kiện đang xét. Cũng bằng cách như vậy ta có thể dựng một mặt nón khác, gọi là mặt nón ánh sáng quá khứ - đó là tập hợp các sự kiện mà từ chúng một xung ánh sáng có thể tới được sự kiện đang xét ( hình 2.4).Những mặt nón ánh sáng quá khứ và tương lai của một sự kiện P chia không gian thành ba miền (hình 2.5.). Tương lai tuyệt đối của sự kiện là vùng nằm trong mặt nón ánh sáng tương lai của P. Đây là tập hợp của tất cả các sự kiện có thể chịu ảnh hưởng của những điều xảy ra ở P.
Những tín hiệu từ P không thể tới được những sự kiện nằm ngoài nón ánh sáng của P bởi vì không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Do vậy mà các sự kiện đó không chịu ảnh hưởng những gì xảy ra ở P. Quá khứ tuyệt đối của P là vùng nằm trong nón ánh sáng quá khứ. Đây là tập hợp các sự kiện mà từ đó những tín hiệu truyền với vận tốc bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc của ánh sáng có thể tới được P. Do đó, tập hợp những sự kiện này có thể ảnh hưởng tới những gì xảy ra ở P. Nếu biết được ở một thời điểm đặc biệt nào đó những gì xảy ra ở mọi nơi trong vùng không gian nằm trong nón ánh sáng quá khứ của P thì người ta có thể tiên đoán những gì sẽ xảy ra ở P. Phần còn lại là vùng không - thời gian không nằm trong nón ánh sáng tương lai hoặc quá khứ của P. Các sự kiện trong phần còn lại này không thể ảnh hưởng hoặc chịu ảnh hưởng bởi những sự kiện ở P. Ví dụ, nếu mặt trời ngừng chiếu sáng ở chính thời điểm này, thì nó sẽ không ảnh hưởng tới các sự kiện trên trái đất ở ngay thời điểm đó bởi vì chúng nằm ngoài nón ánh sáng của ánh sáng khi mặt trời tắt (hình 2.6). Chúng ta sẽ biết về sự kiện đó chỉ sau 8 phút - là thời gian đủ để ánh sáng đi từ mặt trời đến trái đất. Và chỉ khi này những sự kiện trên trái đất mới nằm trong nón ánh sáng tương lai của sự kiện ở đó mặt trời tắt. Tương tự như vậy, ở thời điểm hiện nay chúng ta không thể biết những gì đang xảy ra ở những nơi xa xôi trong vũ trụ, bởi vì ánh sáng mà chúng ta thấy từ những thiên hà xa xôi đã rời chúng từ hàng triệu năm trước. Như vậy, khi chúng ta quan sát vũ trụ thì thực ra là chúng ta đang thấy nó trong qúa khứ.
Nếu người ta bỏ qua những hiệu ứng hấp dẫn, như Einstein và Poincaré đã làm năm 1905, thì ta có thuyết tương đối được gọi là thuyết tương đối hẹp. Đối với mỗi sự kiện trong không-thời gian ta đều có thể dựng một nón ánh sáng (là tập hợp mọi con đường khả dĩ của ánh sáng trong không-thời gian được phát ra ở sự kiện đó), và vì vận tốc ánh sáng là như nhau ở mỗi sự kiện và theo mọi hướng, nên tất cả các nón ánh sáng là như nhau và cùng hướng theo một hướng. Lý thuyết này cũng nói với chúng ta rằng không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Điều đó có nghĩa là đường đi của mọi vật qua không-thời gian cần phải được biểu diễn bằng một đường nằm trong nón ánh sáng ở mỗi một sự kiện trên nó (hình 2.7.).
Lý thuyết tương đối hẹp rất thành công trong việc giải thích sự như nhau của vận tốc ánh sáng đối với mọi người quan sát (như thí nghiệm Michelson - Morley đã chứng tỏ) và trong sự mô tả những điều xảy ra khi các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, lý thuyết này lại không hòa hợp với thuyết hấp dẫn của Tuy nhiên, lý thuyết tương đối buộc chúng ta phải thay đổi một cách căn bản những ý niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Chúng ta buộc phải chấp nhận rằng thời gian không hoàn toàn tách rời và độc lập với không gian mà kết hợp với nó thành một đối tượng gọi là không - thời gian.Theo kinh nghiệm thông thường, người ta có thể mô tả vị trí của một điểm trong không gian bằng ba con số, hay nói cách khác là ba tọa độ. Ví dụ, người ta có thể nói: một điểm ở trong phòng cách một bức tường 7 bộ, cách một bức tường khác 3 bộ, và cao so với sàn 5 bộ. Hoặc người ta có thể chỉ rõ một điểm ở kinh tuyến nào, vĩ tuyến bao nhiêu và ở độ cao nào so với mực nước biển. Người ta có thể thoải mái dùng ba tọa độ thích hợp nào mà mình muốn, mặc dù chúng chỉ có phạm vi ứng dụng hạn chế. Chẳng hạn, chúng ta sẽ không chỉ vị trí của mặt trăng bằng khoảng cách theo phương bắc và phương tây so với rạp xiếc Piccadilly và chiều cao của nó so với mực nước biển. Thay vì thế, người ta cần phải mô tả nó qua khoảng cách từ mặt trời, khoảng cách từ mặt phẳng quĩ đạo của các hành tinh và góc giữa đường nối mặt trăng với mặt trời và đường nối mặt trời tới một ngôi sao ở gần như sao Alpha của chòm sao Nhân Mã. Nhưng thậm chí những tọa độ này cũng không được dùng nhiều để mô tả vị trí của mặt trời trong thiên hà của chúng ta hoặc của thiên hà chúng ta trong quần thể thiên hà khu vực. Thực tế, người ta có thể mô tả toàn bộ vũ trụ bằng một tập hợp các mảng gối lên nhau. Trong mỗi một mảng, người ta có thể dùng một tập hợp ba tọa độ khác nhau để chỉ vị trí của các điểm.Một sự kiện là một cái gì đó xảy ra ở một điểm đặc biệt trong không gian và ở một thời điểm đặc biệt. Như vậy, người ta có thể chỉ nó bằng 4 con số hay là 4 tọa độ. Và lần này cũng thế, việc lựa chọn các tọa độ là tùy ý, người ta có thể dùng ba tọa độ không gian đã biết và một độ đo nào đó của thời gian. Trong thuyết tương đối, không có sự phân biệt thực sự giữa các tọa độ không gian và thời gian, cũng hệt như không có sự khác biệt thực sự giữa hai tọa độ không gian. Người ta có thể chọn một tập hợp tọa độ mới, trong đó, chẳng hạn, tọa độ không gian thứ nhất là tổ hợp của tọa độ không gian cũ thứ nhất và thứ hai. Ví dụ, thay vì đo vị trí của một điểm trên mặt đất bằng khoảng cách theo phương bắc và tây của nó đối với rạp xiếc Piccadilly người ta có thể dùng khoảng cách theo hướng đông bắc và tây bắc đối với Piccadilly. Cũng tương tự như vậy, trong thuyết tương đối, người ta có thể dùng tọa độ thời gian mới là thời gian cũ (tính bằng giây) cộng với khoảng cách (tính bằng giây - ánh sáng) theo hướng bắc của Piccadilly.Một cách rất hữu ích để suy nghĩ về bốn tọa độ của một sự kiện là chỉ vị trí của nó trong một không gian 4 chiều, được gọi là không -thời gian. Chúng ta không thể tưởng tượng nổi một không gian 4 chiều. Riêng bản thân tôi hình dung một không gian 3 chiều cũng đã vất vả lắm rồi. Tuy nhiên vẽ một sơ đồ về không gian 2 chiều thì lại khá dễ dàng, chẳng hạn như vẽ bề mặt của trái đất (Bề mặt của trái đất là hai chiều vì vị trí của một điểm trên đó có thể được ghi bằng hai tọa độ, kinh độ và vĩ độ). Tôi sẽ thường sử dụng những giản đồ trong đó thời gian tăng theo phương thẳng đứng hướng lên trên, còn một trong những chiều không gian được vẽ theo phương nằm ngang. Hai chiều không gian còn lại sẽ bỏ qua, hoặc đôi khi một trong hai chiều đó được vẽ theo phối cảnh. (Những giản đồ này được gọi là giản đồ không-thời gian, giống như hình 2.1). Ví dụ, trong hình 2.2 thời gianđược đặt hướng lên trên với đơn vị là năm, còn khoảng cách nằm dọc theo đường thẳng nối mặt trời với sao Anpha của chòm sao Nhân mã được đặt nằm ngang với đơn vị là dặm. Những con đường của mặt trời và sao Alpha qua không - thời gian là những con đường thẳng đứng ở bên trái và bên phải của giản đồ. Tia sáng từ mặt trời đi theo đường chéo và phải mất 4 năm mới tới được sao Alpha.
Như chúng ta đã thấy, các phương trình Maxwell tiên đoán rằng vận tốc của ánh sáng sẽ là như nhau bất kể vận tốc của nguồn sáng bằng bao nhiêu, và điều này đã được khẳng định bằng nhiều phép đo chính xác.Như chúng ta đã thấy, các phương trình Maxwell tiên đoán rằng vận tốc của ánh sáng sẽ là như nhau bất kể vận tốc của nguồn sáng bằng bao nhiêu, và điều này đã được khẳng định bằng nhiều phép đo chính xác.Điều này suy ra từ sự kiện là nếu một xung ánh sáng được phát ra ở một thời điểm đặc biệt, tại một điểm đặc biệt trong không gian, thì sau đó với thời gian nó sẽ lan ra như một mặt cầu ánh sáng với kích thước và vị trí không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn sáng. Sau một phần triệu giây, ánh sáng sẽ lan truyền, tạo thành một mặt cầu có bán kính 300 mét, sau hai phần triệu giây, bán kính là 600 mét, và cứ như vậy mãi. Điều này cũng giống như những gợn sóng truyền trên mặt nước khi có hòn đá ném xuống hồ.
Những gợn sóng truyền như một vòng tròn cứ lớn dần mãi theo thời gian. Nếu ta nghĩ về một mô hình ba chiều gồm bề mặt hai chiều của hồ và một chiều thời gian thì vòng tròn lớn dần của các gợn sóng sẽ tạo thành một nón có đỉnh nằm đúng tại chỗ và tại thời điểm hòn đá chạm vào mặt nước (hình 2.3). Tương tự, ánh sáng lan truyền từ một sự kiện sẽ tạo nên một mặt nón ba chiều trong không-thời gian 4 chiều. Mặt nón đó được gọi là mặt nón ánh sáng tương lai của sự kiện đang xét. Cũng bằng cách như vậy ta có thể dựng một mặt nón khác, gọi là mặt nón ánh sáng quá khứ - đó là tập hợp các sự kiện mà từ chúng một xung ánh sáng có thể tới được sự kiện đang xét ( hình 2.4).Những mặt nón ánh sáng quá khứ và tương lai của một sự kiện P chia không gian thành ba miền (hình 2.5.). Tương lai tuyệt đối của sự kiện là vùng nằm trong mặt nón ánh sáng tương lai của P. Đây là tập hợp của tất cả các sự kiện có thể chịu ảnh hưởng của những điều xảy ra ở P.Những tín hiệu từ P không thể tới được những sự kiện nằm ngoài nón ánh sáng của P bởi vì không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Do vậy mà các sự kiện đó không chịu ảnh hưởng những gì xảy ra ở P. Quá khứ tuyệt đối của P là vùng nằm trong nón ánh sáng quá khứ. Đây là tập hợp các sự kiện mà từ đó những tín hiệu truyền với vận tốc bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc của ánh sáng có thể tới được P. Do đó, tập hợp những sự kiện này có thể ảnh hưởng tới những gì xảy ra ở P. Nếu biết được ở một thời điểm đặc biệt nào đó những gì xảy ra ở mọi nơi trong vùng không gian nằm trong nón ánh sáng quá khứ của P thì người ta có thể tiên đoán những gì sẽ xảy ra ở P. Phần còn lại là vùng không - thời gian không nằm trong nón ánh sáng tương lai hoặc quá khứ của P. Các sự kiện trong phần còn lại này không thể ảnh hưởng hoặc chịu ảnh hưởng bởi những sự kiện ở P. Ví dụ, nếu mặt trời ngừng chiếu sáng ở chính thời điểm này, thì nó sẽ không ảnh hưởng tới các sự kiện trên trái đất ở ngay thời điểm đó bởi vì chúng nằm ngoài nón ánh sáng của ánh sáng khi mặt trời tắt (hình 2.6). Chúng ta sẽ biết về sự kiện đó chỉ sau 8 phút - là thời gian đủ để ánh sáng đi từ mặt trời đến trái đất. Và chỉ khi này những sự kiện trên trái đất mới nằm trong nón ánh sáng tương lai của sự kiện ở đó mặt trời tắt. Tương tự như vậy, ở thời điểm hiện nay chúng ta không thể biết những gì đang xảy ra ở những nơi xa xôi trong vũ trụ, bởi vì ánh sáng mà chúng ta thấy từ những thiên hà xa xôi đã rời chúng từ hàng triệu năm trước. Như vậy, khi chúng ta quan sát vũ trụ thì thực ra là chúng ta đang thấy nó trong qúa khứ.
Nếu người ta bỏ qua những hiệu ứng hấp dẫn, như Einstein và Poincaré đã làm năm 1905, thì ta có thuyết tương đối được gọi là thuyết tương đối hẹp. Đối với mỗi sự kiện trong không-thời gian ta đều có thể dựng một nón ánh sáng (là tập hợp mọi con đường khả dĩ của ánh sáng trong không-thời gian được phát ra ở sự kiện đó), và vì vận tốc ánh sáng là như nhau ở mỗi sự kiện và theo mọi hướng, nên tất cả các nón ánh sáng là như nhau và cùng hướng theo một hướng. Lý thuyết này cũng nói với chúng ta rằng không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Điều đó có nghĩa là đường đi của mọi vật qua không-thời gian cần phải được biểu diễn bằng một đường nằm trong nón ánh sáng ở mỗi một sự kiện trên nó (hình 2.7.).Lý thuyết tương đối hẹp rất thành công trong việc giải thích sự như nhau của vận tốc ánh sáng đối với mọi người quan sát (như thí nghiệm Michelson - Morley đã chứng tỏ) và trong sự mô tả những điều xảy ra khi các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, lý thuyết này lại không hòa hợp với thuyết hấp dẫn của Newton nói rằng các vật hút nhau với một lực phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng. Điều này có nghĩa là, nếu làm cho một vật chuyển động thì lực tác dụng lên các vật khác sẽ thay đổi ngay lập tức. Hay nói một cách khác, các tác dụng hấp dẫn truyền với vận tốc vô hạn, thay vì nó bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng như thuyết tương đối hẹp đòi hỏi.
Trong khoảng thời gian từ năm 1908 đến năm 1914, Einstein đã nhiều lần thử tìm một lý thuyết hấp dẫn hòa hợp được với thuyết tương đối hẹp, nhưng đã không thành công. Cuối cùng, vào năm 1915, ông đã đưa ra được một lý thuyết mà ngày nay chúng ta gọi là thuyết tương đối rộng (hay thuyết tương đối tổng quát). Ông đã đưa ra một giả thiết có tính chất cách mạng cho rằng hấp dẫn không phải là một lực giống như những lực khác mà nó là kết quả của sự kiện là: không - thời gian không phải phẳng như trước kia người ta vẫn tưởng, mà nó cong hay “vênh” đi do sự phân bố của khối lượng và năng lượng trong nó. Các vật như trái đất không phải được tạo ra để chuyển động trên các quĩ đạo cong bởi lực hấp dẫn, mà thay vì thế, chúng chuyển động theo đường rất gần với đường thẳng trong không gian cong mà người ta gọi là đường trắc địa. Đường trắc địa là đường ngắn nhất (hoặc dài nhất) giữa hai điểm cạnh nhau. Ví dụ, bề mặt trái đất là một không gian cong hai chiều.
Đường trắc địa trên mặt trái đất chính là vòng tròn lớn và nó là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt đất (H.2.8). Vì đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai sân bay, nên nó là đường mà những người dẫn đường hàng không hướng các phi công bay theo. Trong lý thuyết tương đối rộng, các vật luôn luôn chuyển động theo các đường “thẳng” trong không-thời gian 4 chiều, nhưng đối với chúng ta, chúng có vẻ chuyển động theo những đường cong trong không gian 3 chiều. (Điều này rất giống với việc quan sát chiếc máy bay trên một vùng đồi gò. Mặc dù nó bay theo đường thẳng trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng của nó lại chuyển động theo một đường cong trên mặt đất hai chiều).
Khối lượng của mặt trời làm cong không-thời gian theo cách sao cho mặc dù trái đất chuyển động theo đường thẳng trong không-thời gian 4 chiều, nhưng nó lại thể hiện đối với chúng ta là chuyển động theo quĩ đạo tròn trong không gian ba chiều. Và thực tế, quĩ đạo của các hành tinh được tiên đoán bởi lý thuyết tương đối rộng cũng chính xác như được tiên đoán bởi lý thuyết hấp dẫn của Trong khoảng thời gian từ năm 1908 đến năm 1914, Einstein đã nhiều lần thử tìm một lý thuyết hấp dẫn hòa hợp được với thuyết tương đối hẹp, nhưng đã không thành công. Cuối cùng, vào năm 1915, ông đã đưa ra được một lý thuyết mà ngày nay chúng ta gọi là thuyết tương đối rộng (hay thuyết tương đối tổng quát). Ông đã đưa ra một giả thiết có tính chất cách mạng cho rằng hấp dẫn không phải là một lực giống như những lực khác mà nó là kết quả của sự kiện là: không - thời gian không phải phẳng như trước kia người ta vẫn tưởng, mà nó cong hay “vênh” đi do sự phân bố của khối lượng và năng lượng trong nó. Các vật như trái đất không phải được tạo ra để chuyển động trên các quĩ đạo cong bởi lực hấp dẫn, mà thay vì thế, chúng chuyển động theo đường rất gần với đường thẳng trong không gian cong mà người ta gọi là đường trắc địa. Đường trắc địa là đường ngắn nhất (hoặc dài nhất) giữa hai điểm cạnh nhau. Ví dụ, bề mặt trái đất là một không gian cong hai chiều.
Đường trắc địa trên mặt trái đất chính là vòng tròn lớn và nó là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt đất (H.2.8). Vì đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai sân bay, nên nó là đường mà những người dẫn đường hàng không hướng các phi công bay theo. Trong lý thuyết tương đối rộng, các vật luôn luôn chuyển động theo các đường “thẳng” trong không-thời gian 4 chiều, nhưng đối với chúng ta, chúng có vẻ chuyển động theo những đường cong trong không gian 3 chiều. (Điều này rất giống với việc quan sát chiếc máy bay trên một vùng đồi gò. Mặc dù nó bay theo đường thẳng trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng của nó lại chuyển động theo một đường cong trên mặt đất hai chiều).Khối lượng của mặt trời làm cong không-thời gian theo cách sao cho mặc dù trái đất chuyển động theo đường thẳng trong không-thời gian 4 chiều, nhưng nó lại thể hiện đối với chúng ta là chuyển động theo quĩ đạo tròn trong không gian ba chiều. Và thực tế, quĩ đạo của các hành tinh được tiên đoán bởi lý thuyết tương đối rộng cũng chính xác như được tiên đoán bởi lý thuyết hấp dẫn của Newton. Tuy nhiên, trong trường hợp đối với sao Thủy, hành tinh gần mặt trời nhất, do đó cảm thấy hiệu ứng hấp dẫn mạnh nhất và có quĩ đạo thuôn dài hơn, thì thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng trục dài của elip quĩ đạo quay quanh mặt trời với vận tốc 1 độ trong 10 ngàn năm. Mặc dù hiệu ứng là rất nhỏ, nhưng nó đã được ghi nhận từ trước năm 1915 và được dùng như một bằng chứng đầu tiên khẳng định lý thuyết của Einstein. Trong những năm gần đây, những độ lệch thậm chí còn nhỏ hơn nữa của quĩ đạo các hành tinh khác so với những tiên đoán của lý thuyết Newton cũng đã được đo bằng rada và cho thấy chúng phù hợp với những tiên đoán của thuyết tương đối rộng.
Những tia sáng cũng cần phải đi theo những đường trắc địa trong không-thời gian. Cũng lại do không gian bị cong nên ánh sáng không còn thể hiện là truyền theo đường thẳng trong không gian nữa. Như vậy thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng anh sáng có thể bị bẻ cong bởi các trường hấp dẫn. Ví dụ, lý thuyết này tiên đoán rằng nón ánh sáng của những điểm ở gần mặt trời sẽ hơi bị uốn hướng vào phía trong do tác dụng của khối lượng mặt trời. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ một ngôi sao xa khi đi qua gần mặt trời có thể bị lệch đi một góc nhỏ, khiến cho đối với những người quan sát trên mặt đất, ngôisao đó dường như ở một vị trí khác (H.2.9). Tất nhiên, nếu ánh sáng từ ngôi sao đó luôn luôn đi qua gần mặt trời, thì chúng ta không thể nói tia sáng có bị lệch hay không hoặc thay vì thế ngôi sao có thực sự nằm ở đúng chỗ chúng ta nhìn thấy nó hay không. Tuy nhiên, vì trái đất quay quanh mặt trời nên những ngôi sao khác nhau có lúc dường như đi qua phía sau mặt trời và ánh sáng của chúng bị lệch. Vì thế những ngôi sao này thay đổi vị trí biểu kiến của chúng đối với các ngôi sao khác.
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của Những tia sáng cũng cần phải đi theo những đường trắc địa trong không-thời gian. Cũng lại do không gian bị cong nên ánh sáng không còn thể hiện là truyền theo đường thẳng trong không gian nữa. Như vậy thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng anh sáng có thể bị bẻ cong bởi các trường hấp dẫn. Ví dụ, lý thuyết này tiên đoán rằng nón ánh sáng của những điểm ở gần mặt trời sẽ hơi bị uốn hướng vào phía trong do tác dụng của khối lượng mặt trời. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ một ngôi sao xa khi đi qua gần mặt trời có thể bị lệch đi một góc nhỏ, khiến cho đối với những người quan sát trên mặt đất, ngôisao đó dường như ở một vị trí khác (H.2.9). Tất nhiên, nếu ánh sáng từ ngôi sao đó luôn luôn đi qua gần mặt trời, thì chúng ta không thể nói tia sáng có bị lệch hay không hoặc thay vì thế ngôi sao có thực sự nằm ở đúng chỗ chúng ta nhìn thấy nó hay không. Tuy nhiên, vì trái đất quay quanh mặt trời nên những ngôi sao khác nhau có lúc dường như đi qua phía sau mặt trời và ánh sáng của chúng bị lệch. Vì thế những ngôi sao này thay đổi vị trí biểu kiến của chúng đối với các ngôi sao khác.
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!Những định luật về chuyển động của Newton đã đặt dấu chấm hết cho ý niệm về vị trí tuyệt đối trong không gian. Thuyết tương đối đã vứt bỏ khái niệm thời gian tuyệt đối. Ta hãy xét hai đứa trẻ sinh đôi. Giả sử rằng một đứa được đưa lên sống trên đỉnh núi và một đứa sống ở ngang mực nước biển. Đứa thứ nhất sẽ già nhanh hơn đứa thứ hai. Như vậy, nếu gặp lại nhau một đứa sẽ già hơn đứa kia. Trong trường hợp này sự khác nhau về tuổi tác sẽ rất nhỏ, nhưng nó sẽ lớn hơn rất nhiều nếu một đứa thực hiện chuyến du hành dài trong con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng. Khi trở về nó sẽ trẻ hơn rất nhiều so với đứa ở lại trái đất. Điều này được gọi là nghịch lý hai đứa trẻ sinh đôi, nhưng nó là nghịch lý chỉ nếu ý niệm về thời gian tuyệt đối vẫn còn lẩn quất trong đầu óc chúng ta. Trong lý thuyết tương đối không có một thời gian tuyệt đối duy nhất, mà thay vì thế mỗi cá nhân có một độ đo thời gian riêng của mình và độ đo đó phụ thuộc vào nơi họ đang ở và họ chuyển động như thế nào.
Trước năm 1915, không gian và thời gian được xem là một sân khấu cố định nơi diễn ra mọi sự kiện và không chịu ảnh hưởng bởi những điều xảy ra trong nó. Điều này đúng thậm chí cả với thuyết tương đối hẹp. Các vật chuyển động, các lực hút và đẩy, nhưng không gian và thời gian vẫn liên tục và không bị ảnh hưởng gì. Và ý nghĩ cho rằng không gian và thời gian cứ tiếp tục như thế mãi mãi cũng là chuyện tự nhiên.
Tuy nhiên, tình hình hoàn toàn khác trong thuyết tương đối rộng. Bây giờ không gian và thời gian là những đại lượng động lực: khi một vật chuyển động, hoặc một lực tác dụng, chúng đều ảnh hưởng tới độ cong của không gian và thời gian và đáp lại, cấu trúc của không - thời gian sẽ ảnh hưởng tới cách thức mà các vật chuyển động và các lực tác dụng. Không gian và thời gian không chỉ có tác động mà còn bị tác động bởi mọi điều xảy ra trong vũ trụ. Chính vì người ta không thể nói về các sự kiện trong vũ trụ mà không có khái niệm về không gian và thời gian, nên trong thuyết tương đối rộng sẽ trở nên vô nghĩa nếu nói về không gian và thời gian ở ngoài giới hạn của vũ trụ. Trong những thập kỷ tiếp sau, sự nhận thức mới này về không gian và thời gian đã làm cách mạng quan niệm của chúng ta về vũ trụ. Ý tưởng xưa cũ cho rằng một vũ trụ căn bản không thay đổi có thể đã tồn tại và có thể còn tiếp tục tồn tại đã vĩnh viễn được thay thế bằng khái niệm một vũ trụ động, đang giãn nở, một vũ trụ dường như đã bắt đầu ở một thời điểm hữu hạn trong quá khứ và có thể chấm dứt ở một thời điểm hữu hạn trong tương lai. Cuộc cách mạng này là đề tài của chương tiếp sau. Và những năm sau đó nó cũng đã là điểm xuất phát cho hoạt động của tôi trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Roger Penrose và tôi đã chứng tỏ được rằng chính thuyết tương đối rộng đã ngụ ý vũ trụ cần phải có điểm bắt đầu và có thể cả điểm kết thúc nữa. HTrước năm 1915, không gian và thời gian được xem là một sân khấu cố định nơi diễn ra mọi sự kiện và không chịu ảnh hưởng bởi những điều xảy ra trong nó. Điều này đúng thậm chí cả với thuyết tương đối hẹp. Các vật chuyển động, các lực hút và đẩy, nhưng không gian và thời gian vẫn liên tục và không bị ảnh hưởng gì. Và ý nghĩ cho rằng không gian và thời gian cứ tiếp tục như thế mãi mãi cũng là chuyện tự nhiên.Tuy nhiên, tình hình hoàn toàn khác trong thuyết tương đối rộng. Bây giờ không gian và thời gian là những đại lượng động lực: khi một vật chuyển động, hoặc một lực tác dụng, chúng đều ảnh hưởng tới độ cong của không gian và thời gian và đáp lại, cấu trúc của không - thời gian sẽ ảnh hưởng tới cách thức mà các vật chuyển động và các lực tác dụng. Không gian và thời gian không chỉ có tác động mà còn bị tác động bởi mọi điều xảy ra trong vũ trụ. Chính vì người ta không thể nói về các sự kiện trong vũ trụ mà không có khái niệm về không gian và thời gian, nên trong thuyết tương đối rộng sẽ trở nên vô nghĩa nếu nói về không gian và thời gian ở ngoài giới hạn của vũ trụ. Trong những thập kỷ tiếp sau, sự nhận thức mới này về không gian và thời gian đã làm cách mạng quan niệm của chúng ta về vũ trụ. Ý tưởng xưa cũ cho rằng một vũ trụ căn bản không thay đổi có thể đã tồn tại và có thể còn tiếp tục tồn tại đã vĩnh viễn được thay thế bằng khái niệm một vũ trụ động, đang giãn nở, một vũ trụ dường như đã bắt đầu ở một thời điểm hữu hạn trong quá khứ và có thể chấm dứt ở một thời điểm hữu hạn trong tương lai. Cuộc cách mạng này là đề tài của chương tiếp sau. Và những năm sau đó nó cũng đã là điểm xuất phát cho hoạt động của tôi trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Roger Penrose và tôi đã chứng tỏ được rằng chính thuyết tương đối rộng đã ngụ ý vũ trụ cần phải có điểm bắt đầu và có thể cả điểm kết thúc nữa. Hết: Chương 2
Ý tưởng này được minh họa trên hình 2.1, nó là một ví dụ về giản đồ không-thời gian. Dùng thủ tục này, những người quan sát chuyển động đối với nhau sẽ gán cho cùng một sự kiện những thời gian và vị trí khác nhau. Không có những phép đo của người quan sát đặc biệt nào là đúng hơn những người khác, nhưng tất cả các phép đo đều quan hệ với nhau. Bất kỳ một người quan sát nào cũng tính ra được một cách chính xác thời gian và vị trí mà một người quan sát khác gán cho một sự kiện, miễn là người đó biết được vận tốc tương đối của người kia.
Ngày hôm nay để đo khoảng cách một cách chính xác, chúng ta vẫn còn dùng phương pháp nói trên, bởi vì chúng ta có thể đo thời gian chính xác hơn đo chiều dài. Thực tế, mét được định nghĩa là khoảng cách mà ánh sáng đi được trong khoảng thời gian 0,000000003335640952 giây đo theo đồng hồ nguyên tử xesi. (Nguyên nhân dẫn tới con số lạ lùng này là để nó tương ứng với định nghĩa có tính chất lịch sử của mét: là khoảng cách giữa hai vạch trên một cái thước đặc biệt làm bằng bạch kim được giữ ở Paris). Như vậy chúng ta có thể dùng một đơn vị mới thuận tiện hơn, được gọi là giây-ánh-sáng. Nó đơn giản là khoảng cách mà ánh sáng đi được trong một giây. Trong lý thuyết tương đối, bây giờ ta định nghĩa khoảng cách thông qua thời gian và vận tốc ánh sáng, như vậy phải tự động suy ra rằng mọi người quan sát đo vận tốc của ánh sáng sẽ nhận được cùng một giá trị (theo định nghĩa là 1 mét trong 0,000000003335640952 giây). Khỏi cần phải đưa vào khái niệm ether, và lại sự có mặt của nó không thể được ghi nhận bằng cách nào, như thí nghiệm của Michelson - Morley đã chứng tỏ.
Tuy nhiên, lý thuyết tương đối buộc chúng ta phải thay đổi một cách căn bản những ý niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Chúng ta buộc phải chấp nhận rằng thời gian không hoàn toàn tách rời và độc lập với không gian mà kết hợp với nó thành một đối tượng gọi là không - thời gian.
Theo kinh nghiệm thông thường, người ta có thể mô tả vị trí của một điểm trong không gian bằng ba con số, hay nói cách khác là ba tọa độ. Ví dụ, người ta có thể nói: một điểm ở trong phòng cách một bức tường 7 bộ, cách một bức tường khác 3 bộ, và cao so với sàn 5 bộ. Hoặc người ta có thể chỉ rõ một điểm ở kinh tuyến nào, vĩ tuyến bao nhiêu và ở độ cao nào so với mực nước biển. Người ta có thể thoải mái dùng ba tọa độ thích hợp nào mà mình muốn, mặc dù chúng chỉ có phạm vi ứng dụng hạn chế. Chẳng hạn, chúng ta sẽ không chỉ vị trí của mặt trăng bằng khoảng cách theo phương bắc và phương tây so với rạp xiếc Piccadilly và chiều cao của nó so với mực nước biển. Thay vì thế, người ta cần phải mô tả nó qua khoảng cách từ mặt trời, khoảng cách từ mặt phẳng quĩ đạo của các hành tinh và góc giữa đường nối mặt trăng với mặt trời và đường nối mặt trời tới một ngôi sao ở gần như sao Alpha của chòm sao Nhân Mã. Nhưng thậm chí những tọa độ này cũng không được dùng nhiều để mô tả vị trí của mặt trời trong thiên hà của chúng ta hoặc của thiên hà chúng ta trong quần thể thiên hà khu vực. Thực tế, người ta có thể mô tả toàn bộ vũ trụ bằng một tập hợp các mảng gối lên nhau. Trong mỗi một mảng, người ta có thể dùng một tập hợp ba tọa độ khác nhau để chỉ vị trí của các điểm.
Một sự kiện là một cái gì đó xảy ra ở một điểm đặc biệt trong không gian và ở một thời điểm đặc biệt. Như vậy, người ta có thể chỉ nó bằng 4 con số hay là 4 tọa độ. Và lần này cũng thế, việc lựa chọn các tọa độ là tùy ý, người ta có thể dùng ba tọa độ không gian đã biết và một độ đo nào đó của thời gian. Trong thuyết tương đối, không có sự phân biệt thực sự giữa các tọa độ không gian và thời gian, cũng hệt như không có sự khác biệt thực sự giữa hai tọa độ không gian. Người ta có thể chọn một tập hợp tọa độ mới, trong đó, chẳng hạn, tọa độ không gian thứ nhất là tổ hợp của tọa độ không gian cũ thứ nhất và thứ hai. Ví dụ, thay vì đo vị trí của một điểm trên mặt đất bằng khoảng cách theo phương bắc và tây của nó đối với rạp xiếc Piccadilly người ta có thể dùng khoảng cách theo hướng đông bắc và tây bắc đối với Piccadilly. Cũng tương tự như vậy, trong thuyết tương đối, người ta có thể dùng tọa độ thời gian mới là thời gian cũ (tính bằng giây) cộng với khoảng cách (tính bằng giây - ánh sáng) theo hướng bắc của Piccadilly.
Một cách rất hữu ích để suy nghĩ về bốn tọa độ của một sự kiện là chỉ vị trí của nó trong một không gian 4 chiều, được gọi là không -thời gian. Chúng ta không thể tưởng tượng nổi một không gian 4 chiều. Riêng bản thân tôi hình dung một không gian 3 chiều cũng đã vất vả lắm rồi. Tuy nhiên vẽ một sơ đồ về không gian 2 chiều thì lại khá dễ dàng, chẳng hạn như vẽ bề mặt của trái đất (Bề mặt của trái đất là hai chiều vì vị trí của một điểm trên đó có thể được ghi bằng hai tọa độ, kinh độ và vĩ độ). Tôi sẽ thường sử dụng những giản đồ trong đó thời gian tăng theo phương thẳng đứng hướng lên trên, còn một trong những chiều không gian được vẽ theo phương nằm ngang. Hai chiều không gian còn lại sẽ bỏ qua, hoặc đôi khi một trong hai chiều đó được vẽ theo phối cảnh. (Những giản đồ này được gọi là giản đồ không-thời gian, giống như hình 2.1). Ví dụ, trong hình 2.2 thời gianđược đặt hướng lên trên với đơn vị là năm, còn khoảng cách nằm dọc theo đường thẳng nối mặt trời với sao Anpha của chòm sao Nhân mã được đặt nằm ngang với đơn vị là dặm. Những con đường của mặt trời và sao Alpha qua không - thời gian là những con đường thẳng đứng ở bên trái và bên phải của giản đồ. Tia sáng từ mặt trời đi theo đường chéo và phải mất 4 năm mới tới được sao Alpha.
Như chúng ta đã thấy, các phương trình Maxwell tiên đoán rằng vận tốc của ánh sáng sẽ là như nhau bất kể vận tốc của nguồn sáng bằng bao nhiêu, và điều này đã được khẳng định bằng nhiều phép đo chính xác.Điều này suy ra từ sự kiện là nếu một xung ánh sáng được phát ra ở một thời điểm đặc biệt, tại một điểm đặc biệt trong không gian, thì sau đó với thời gian nó sẽ lan ra như một mặt cầu ánh sáng với kích thước và vị trí không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn sáng. Sau một phần triệu giây, ánh sáng sẽ lan truyền, tạo thành một mặt cầu có bán kính 300 mét, sau hai phần triệu giây, bán kính là 600 mét, và cứ như vậy mãi. Điều này cũng giống như những gợn sóng truyền trên mặt nước khi có hòn đá ném xuống hồ.
Những gợn sóng truyền như một vòng tròn cứ lớn dần mãi theo thời gian. Nếu ta nghĩ về một mô hình ba chiều gồm bề mặt hai chiều của hồ và một chiều thời gian thì vòng tròn lớn dần của các gợn sóng sẽ tạo thành một nón có đỉnh nằm đúng tại chỗ và tại thời điểm hòn đá chạm vào mặt nước (hình 2.3). Tương tự, ánh sáng lan truyền từ một sự kiện sẽ tạo nên một mặt nón ba chiều trong không-thời gian 4 chiều. Mặt nón đó được gọi là mặt nón ánh sáng tương lai của sự kiện đang xét. Cũng bằng cách như vậy ta có thể dựng một mặt nón khác, gọi là mặt nón ánh sáng quá khứ - đó là tập hợp các sự kiện mà từ chúng một xung ánh sáng có thể tới được sự kiện đang xét ( hình 2.4).Những mặt nón ánh sáng quá khứ và tương lai của một sự kiện P chia không gian thành ba miền (hình 2.5.). Tương lai tuyệt đối của sự kiện là vùng nằm trong mặt nón ánh sáng tương lai của P. Đây là tập hợp của tất cả các sự kiện có thể chịu ảnh hưởng của những điều xảy ra ở P.
Những tín hiệu từ P không thể tới được những sự kiện nằm ngoài nón ánh sáng của P bởi vì không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Do vậy mà các sự kiện đó không chịu ảnh hưởng những gì xảy ra ở P. Quá khứ tuyệt đối của P là vùng nằm trong nón ánh sáng quá khứ. Đây là tập hợp các sự kiện mà từ đó những tín hiệu truyền với vận tốc bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc của ánh sáng có thể tới được P. Do đó, tập hợp những sự kiện này có thể ảnh hưởng tới những gì xảy ra ở P. Nếu biết được ở một thời điểm đặc biệt nào đó những gì xảy ra ở mọi nơi trong vùng không gian nằm trong nón ánh sáng quá khứ của P thì người ta có thể tiên đoán những gì sẽ xảy ra ở P. Phần còn lại là vùng không - thời gian không nằm trong nón ánh sáng tương lai hoặc quá khứ của P. Các sự kiện trong phần còn lại này không thể ảnh hưởng hoặc chịu ảnh hưởng bởi những sự kiện ở P. Ví dụ, nếu mặt trời ngừng chiếu sáng ở chính thời điểm này, thì nó sẽ không ảnh hưởng tới các sự kiện trên trái đất ở ngay thời điểm đó bởi vì chúng nằm ngoài nón ánh sáng của ánh sáng khi mặt trời tắt (hình 2.6). Chúng ta sẽ biết về sự kiện đó chỉ sau 8 phút - là thời gian đủ để ánh sáng đi từ mặt trời đến trái đất. Và chỉ khi này những sự kiện trên trái đất mới nằm trong nón ánh sáng tương lai của sự kiện ở đó mặt trời tắt. Tương tự như vậy, ở thời điểm hiện nay chúng ta không thể biết những gì đang xảy ra ở những nơi xa xôi trong vũ trụ, bởi vì ánh sáng mà chúng ta thấy từ những thiên hà xa xôi đã rời chúng từ hàng triệu năm trước. Như vậy, khi chúng ta quan sát vũ trụ thì thực ra là chúng ta đang thấy nó trong qúa khứ.
Nếu người ta bỏ qua những hiệu ứng hấp dẫn, như Einstein và Poincaré đã làm năm 1905, thì ta có thuyết tương đối được gọi là thuyết tương đối hẹp. Đối với mỗi sự kiện trong không-thời gian ta đều có thể dựng một nón ánh sáng (là tập hợp mọi con đường khả dĩ của ánh sáng trong không-thời gian được phát ra ở sự kiện đó), và vì vận tốc ánh sáng là như nhau ở mỗi sự kiện và theo mọi hướng, nên tất cả các nón ánh sáng là như nhau và cùng hướng theo một hướng. Lý thuyết này cũng nói với chúng ta rằng không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Điều đó có nghĩa là đường đi của mọi vật qua không-thời gian cần phải được biểu diễn bằng một đường nằm trong nón ánh sáng ở mỗi một sự kiện trên nó (hình 2.7.).
Lý thuyết tương đối hẹp rất thành công trong việc giải thích sự như nhau của vận tốc ánh sáng đối với mọi người quan sát (như thí nghiệm Michelson - Morley đã chứng tỏ) và trong sự mô tả những điều xảy ra khi các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, lý thuyết này lại không hòa hợp với thuyết hấp dẫn của
Tuy nhiên, lý thuyết tương đối buộc chúng ta phải thay đổi một cách căn bản những ý niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Chúng ta buộc phải chấp nhận rằng thời gian không hoàn toàn tách rời và độc lập với không gian mà kết hợp với nó thành một đối tượng gọi là không - thời gian.
Theo kinh nghiệm thông thường, người ta có thể mô tả vị trí của một điểm trong không gian bằng ba con số, hay nói cách khác là ba tọa độ. Ví dụ, người ta có thể nói: một điểm ở trong phòng cách một bức tường 7 bộ, cách một bức tường khác 3 bộ, và cao so với sàn 5 bộ. Hoặc người ta có thể chỉ rõ một điểm ở kinh tuyến nào, vĩ tuyến bao nhiêu và ở độ cao nào so với mực nước biển. Người ta có thể thoải mái dùng ba tọa độ thích hợp nào mà mình muốn, mặc dù chúng chỉ có phạm vi ứng dụng hạn chế. Chẳng hạn, chúng ta sẽ không chỉ vị trí của mặt trăng bằng khoảng cách theo phương bắc và phương tây so với rạp xiếc Piccadilly và chiều cao của nó so với mực nước biển. Thay vì thế, người ta cần phải mô tả nó qua khoảng cách từ mặt trời, khoảng cách từ mặt phẳng quĩ đạo của các hành tinh và góc giữa đường nối mặt trăng với mặt trời và đường nối mặt trời tới một ngôi sao ở gần như sao Alpha của chòm sao Nhân Mã. Nhưng thậm chí những tọa độ này cũng không được dùng nhiều để mô tả vị trí của mặt trời trong thiên hà của chúng ta hoặc của thiên hà chúng ta trong quần thể thiên hà khu vực. Thực tế, người ta có thể mô tả toàn bộ vũ trụ bằng một tập hợp các mảng gối lên nhau. Trong mỗi một mảng, người ta có thể dùng một tập hợp ba tọa độ khác nhau để chỉ vị trí của các điểm.
Một sự kiện là một cái gì đó xảy ra ở một điểm đặc biệt trong không gian và ở một thời điểm đặc biệt. Như vậy, người ta có thể chỉ nó bằng 4 con số hay là 4 tọa độ. Và lần này cũng thế, việc lựa chọn các tọa độ là tùy ý, người ta có thể dùng ba tọa độ không gian đã biết và một độ đo nào đó của thời gian. Trong thuyết tương đối, không có sự phân biệt thực sự giữa các tọa độ không gian và thời gian, cũng hệt như không có sự khác biệt thực sự giữa hai tọa độ không gian. Người ta có thể chọn một tập hợp tọa độ mới, trong đó, chẳng hạn, tọa độ không gian thứ nhất là tổ hợp của tọa độ không gian cũ thứ nhất và thứ hai. Ví dụ, thay vì đo vị trí của một điểm trên mặt đất bằng khoảng cách theo phương bắc và tây của nó đối với rạp xiếc Piccadilly người ta có thể dùng khoảng cách theo hướng đông bắc và tây bắc đối với Piccadilly. Cũng tương tự như vậy, trong thuyết tương đối, người ta có thể dùng tọa độ thời gian mới là thời gian cũ (tính bằng giây) cộng với khoảng cách (tính bằng giây - ánh sáng) theo hướng bắc của Piccadilly.
Một cách rất hữu ích để suy nghĩ về bốn tọa độ của một sự kiện là chỉ vị trí của nó trong một không gian 4 chiều, được gọi là không -thời gian. Chúng ta không thể tưởng tượng nổi một không gian 4 chiều. Riêng bản thân tôi hình dung một không gian 3 chiều cũng đã vất vả lắm rồi. Tuy nhiên vẽ một sơ đồ về không gian 2 chiều thì lại khá dễ dàng, chẳng hạn như vẽ bề mặt của trái đất (Bề mặt của trái đất là hai chiều vì vị trí của một điểm trên đó có thể được ghi bằng hai tọa độ, kinh độ và vĩ độ). Tôi sẽ thường sử dụng những giản đồ trong đó thời gian tăng theo phương thẳng đứng hướng lên trên, còn một trong những chiều không gian được vẽ theo phương nằm ngang. Hai chiều không gian còn lại sẽ bỏ qua, hoặc đôi khi một trong hai chiều đó được vẽ theo phối cảnh. (Những giản đồ này được gọi là giản đồ không-thời gian, giống như hình 2.1). Ví dụ, trong hình 2.2 thời gianđược đặt hướng lên trên với đơn vị là năm, còn khoảng cách nằm dọc theo đường thẳng nối mặt trời với sao Anpha của chòm sao Nhân mã được đặt nằm ngang với đơn vị là dặm. Những con đường của mặt trời và sao Alpha qua không - thời gian là những con đường thẳng đứng ở bên trái và bên phải của giản đồ. Tia sáng từ mặt trời đi theo đường chéo và phải mất 4 năm mới tới được sao Alpha.
Như chúng ta đã thấy, các phương trình Maxwell tiên đoán rằng vận tốc của ánh sáng sẽ là như nhau bất kể vận tốc của nguồn sáng bằng bao nhiêu, và điều này đã được khẳng định bằng nhiều phép đo chính xác.
Như chúng ta đã thấy, các phương trình Maxwell tiên đoán rằng vận tốc của ánh sáng sẽ là như nhau bất kể vận tốc của nguồn sáng bằng bao nhiêu, và điều này đã được khẳng định bằng nhiều phép đo chính xác.Điều này suy ra từ sự kiện là nếu một xung ánh sáng được phát ra ở một thời điểm đặc biệt, tại một điểm đặc biệt trong không gian, thì sau đó với thời gian nó sẽ lan ra như một mặt cầu ánh sáng với kích thước và vị trí không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn sáng. Sau một phần triệu giây, ánh sáng sẽ lan truyền, tạo thành một mặt cầu có bán kính 300 mét, sau hai phần triệu giây, bán kính là 600 mét, và cứ như vậy mãi. Điều này cũng giống như những gợn sóng truyền trên mặt nước khi có hòn đá ném xuống hồ.
Những gợn sóng truyền như một vòng tròn cứ lớn dần mãi theo thời gian. Nếu ta nghĩ về một mô hình ba chiều gồm bề mặt hai chiều của hồ và một chiều thời gian thì vòng tròn lớn dần của các gợn sóng sẽ tạo thành một nón có đỉnh nằm đúng tại chỗ và tại thời điểm hòn đá chạm vào mặt nước (hình 2.3). Tương tự, ánh sáng lan truyền từ một sự kiện sẽ tạo nên một mặt nón ba chiều trong không-thời gian 4 chiều. Mặt nón đó được gọi là mặt nón ánh sáng tương lai của sự kiện đang xét. Cũng bằng cách như vậy ta có thể dựng một mặt nón khác, gọi là mặt nón ánh sáng quá khứ - đó là tập hợp các sự kiện mà từ chúng một xung ánh sáng có thể tới được sự kiện đang xét ( hình 2.4).Những mặt nón ánh sáng quá khứ và tương lai của một sự kiện P chia không gian thành ba miền (hình 2.5.). Tương lai tuyệt đối của sự kiện là vùng nằm trong mặt nón ánh sáng tương lai của P. Đây là tập hợp của tất cả các sự kiện có thể chịu ảnh hưởng của những điều xảy ra ở P.
Những tín hiệu từ P không thể tới được những sự kiện nằm ngoài nón ánh sáng của P bởi vì không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Do vậy mà các sự kiện đó không chịu ảnh hưởng những gì xảy ra ở P. Quá khứ tuyệt đối của P là vùng nằm trong nón ánh sáng quá khứ. Đây là tập hợp các sự kiện mà từ đó những tín hiệu truyền với vận tốc bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc của ánh sáng có thể tới được P. Do đó, tập hợp những sự kiện này có thể ảnh hưởng tới những gì xảy ra ở P. Nếu biết được ở một thời điểm đặc biệt nào đó những gì xảy ra ở mọi nơi trong vùng không gian nằm trong nón ánh sáng quá khứ của P thì người ta có thể tiên đoán những gì sẽ xảy ra ở P. Phần còn lại là vùng không - thời gian không nằm trong nón ánh sáng tương lai hoặc quá khứ của P. Các sự kiện trong phần còn lại này không thể ảnh hưởng hoặc chịu ảnh hưởng bởi những sự kiện ở P. Ví dụ, nếu mặt trời ngừng chiếu sáng ở chính thời điểm này, thì nó sẽ không ảnh hưởng tới các sự kiện trên trái đất ở ngay thời điểm đó bởi vì chúng nằm ngoài nón ánh sáng của ánh sáng khi mặt trời tắt (hình 2.6). Chúng ta sẽ biết về sự kiện đó chỉ sau 8 phút - là thời gian đủ để ánh sáng đi từ mặt trời đến trái đất. Và chỉ khi này những sự kiện trên trái đất mới nằm trong nón ánh sáng tương lai của sự kiện ở đó mặt trời tắt. Tương tự như vậy, ở thời điểm hiện nay chúng ta không thể biết những gì đang xảy ra ở những nơi xa xôi trong vũ trụ, bởi vì ánh sáng mà chúng ta thấy từ những thiên hà xa xôi đã rời chúng từ hàng triệu năm trước. Như vậy, khi chúng ta quan sát vũ trụ thì thực ra là chúng ta đang thấy nó trong qúa khứ.
Nếu người ta bỏ qua những hiệu ứng hấp dẫn, như Einstein và Poincaré đã làm năm 1905, thì ta có thuyết tương đối được gọi là thuyết tương đối hẹp. Đối với mỗi sự kiện trong không-thời gian ta đều có thể dựng một nón ánh sáng (là tập hợp mọi con đường khả dĩ của ánh sáng trong không-thời gian được phát ra ở sự kiện đó), và vì vận tốc ánh sáng là như nhau ở mỗi sự kiện và theo mọi hướng, nên tất cả các nón ánh sáng là như nhau và cùng hướng theo một hướng. Lý thuyết này cũng nói với chúng ta rằng không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Điều đó có nghĩa là đường đi của mọi vật qua không-thời gian cần phải được biểu diễn bằng một đường nằm trong nón ánh sáng ở mỗi một sự kiện trên nó (hình 2.7.).
Lý thuyết tương đối hẹp rất thành công trong việc giải thích sự như nhau của vận tốc ánh sáng đối với mọi người quan sát (như thí nghiệm Michelson - Morley đã chứng tỏ) và trong sự mô tả những điều xảy ra khi các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, lý thuyết này lại không hòa hợp với thuyết hấp dẫn của Newton nói rằng các vật hút nhau với một lực phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng. Điều này có nghĩa là, nếu làm cho một vật chuyển động thì lực tác dụng lên các vật khác sẽ thay đổi ngay lập tức. Hay nói một cách khác, các tác dụng hấp dẫn truyền với vận tốc vô hạn, thay vì nó bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng như thuyết tương đối hẹp đòi hỏi.
Trong khoảng thời gian từ năm 1908 đến năm 1914, Einstein đã nhiều lần thử tìm một lý thuyết hấp dẫn hòa hợp được với thuyết tương đối hẹp, nhưng đã không thành công. Cuối cùng, vào năm 1915, ông đã đưa ra được một lý thuyết mà ngày nay chúng ta gọi là thuyết tương đối rộng (hay thuyết tương đối tổng quát). Ông đã đưa ra một giả thiết có tính chất cách mạng cho rằng hấp dẫn không phải là một lực giống như những lực khác mà nó là kết quả của sự kiện là: không - thời gian không phải phẳng như trước kia người ta vẫn tưởng, mà nó cong hay “vênh” đi do sự phân bố của khối lượng và năng lượng trong nó. Các vật như trái đất không phải được tạo ra để chuyển động trên các quĩ đạo cong bởi lực hấp dẫn, mà thay vì thế, chúng chuyển động theo đường rất gần với đường thẳng trong không gian cong mà người ta gọi là đường trắc địa. Đường trắc địa là đường ngắn nhất (hoặc dài nhất) giữa hai điểm cạnh nhau. Ví dụ, bề mặt trái đất là một không gian cong hai chiều.
Đường trắc địa trên mặt trái đất chính là vòng tròn lớn và nó là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt đất (H.2.8). Vì đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai sân bay, nên nó là đường mà những người dẫn đường hàng không hướng các phi công bay theo. Trong lý thuyết tương đối rộng, các vật luôn luôn chuyển động theo các đường “thẳng” trong không-thời gian 4 chiều, nhưng đối với chúng ta, chúng có vẻ chuyển động theo những đường cong trong không gian 3 chiều. (Điều này rất giống với việc quan sát chiếc máy bay trên một vùng đồi gò. Mặc dù nó bay theo đường thẳng trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng của nó lại chuyển động theo một đường cong trên mặt đất hai chiều).
Khối lượng của mặt trời làm cong không-thời gian theo cách sao cho mặc dù trái đất chuyển động theo đường thẳng trong không-thời gian 4 chiều, nhưng nó lại thể hiện đối với chúng ta là chuyển động theo quĩ đạo tròn trong không gian ba chiều. Và thực tế, quĩ đạo của các hành tinh được tiên đoán bởi lý thuyết tương đối rộng cũng chính xác như được tiên đoán bởi lý thuyết hấp dẫn của Newton. Tuy nhiên, trong trường hợp đối với sao Thủy, hành tinh gần mặt trời nhất, do đó cảm thấy hiệu ứng hấp dẫn mạnh nhất và có quĩ đạo thuôn dài hơn, thì thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng trục dài của elip quĩ đạo quay quanh mặt trời với vận tốc 1 độ trong 10 ngàn năm. Mặc dù hiệu ứng là rất nhỏ, nhưng nó đã được ghi nhận từ trước năm 1915 và được dùng như một bằng chứng đầu tiên khẳng định lý thuyết của Einstein. Trong những năm gần đây, những độ lệch thậm chí còn nhỏ hơn nữa của quĩ đạo các hành tinh khác so với những tiên đoán của lý thuyết Newton cũng đã được đo bằng rada và cho thấy chúng phù hợp với những tiên đoán của thuyết tương đối rộng.
Những tia sáng cũng cần phải đi theo những đường trắc địa trong không-thời gian. Cũng lại do không gian bị cong nên ánh sáng không còn thể hiện là truyền theo đường thẳng trong không gian nữa. Như vậy thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng anh sáng có thể bị bẻ cong bởi các trường hấp dẫn. Ví dụ, lý thuyết này tiên đoán rằng nón ánh sáng của những điểm ở gần mặt trời sẽ hơi bị uốn hướng vào phía trong do tác dụng của khối lượng mặt trời. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ một ngôi sao xa khi đi qua gần mặt trời có thể bị lệch đi một góc nhỏ, khiến cho đối với những người quan sát trên mặt đất, ngôisao đó dường như ở một vị trí khác (H.2.9). Tất nhiên, nếu ánh sáng từ ngôi sao đó luôn luôn đi qua gần mặt trời, thì chúng ta không thể nói tia sáng có bị lệch hay không hoặc thay vì thế ngôi sao có thực sự nằm ở đúng chỗ chúng ta nhìn thấy nó hay không. Tuy nhiên, vì trái đất quay quanh mặt trời nên những ngôi sao khác nhau có lúc dường như đi qua phía sau mặt trời và ánh sáng của chúng bị lệch. Vì thế những ngôi sao này thay đổi vị trí biểu kiến của chúng đối với các ngôi sao khác.
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của Newton đã đặt dấu chấm hết cho ý niệm về vị trí tuyệt đối trong không gian. Thuyết tương đối đã vứt bỏ khái niệm thời gian tuyệt đối. Ta hãy xét hai đứa trẻ sinh đôi. Giả sử rằng một đứa được đưa lên sống trên đỉnh núi và một đứa sống ở ngang mực nước biển. Đứa thứ nhất sẽ già nhanh hơn đứa thứ hai. Như vậy, nếu gặp lại nhau một đứa sẽ già hơn đứa kia. Trong trường hợp này sự khác nhau về tuổi tác sẽ rất nhỏ, nhưng nó sẽ lớn hơn rất nhiều nếu một đứa thực hiện chuyến du hành dài trong con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng. Khi trở về nó sẽ trẻ hơn rất nhiều so với đứa ở lại trái đất. Điều này được gọi là nghịch lý hai đứa trẻ sinh đôi, nhưng nó là nghịch lý chỉ nếu ý niệm về thời gian tuyệt đối vẫn còn lẩn quất trong đầu óc chúng ta. Trong lý thuyết tương đối không có một thời gian tuyệt đối duy nhất, mà thay vì thế mỗi cá nhân có một độ đo thời gian riêng của mình và độ đo đó phụ thuộc vào nơi họ đang ở và họ chuyển động như thế nào.
Trước năm 1915, không gian và thời gian được xem là một sân khấu cố định nơi diễn ra mọi sự kiện và không chịu ảnh hưởng bởi những điều xảy ra trong nó. Điều này đúng thậm chí cả với thuyết tương đối hẹp. Các vật chuyển động, các lực hút và đẩy, nhưng không gian và thời gian vẫn liên tục và không bị ảnh hưởng gì. Và ý nghĩ cho rằng không gian và thời gian cứ tiếp tục như thế mãi mãi cũng là chuyện tự nhiên.
Tuy nhiên, tình hình hoàn toàn khác trong thuyết tương đối rộng. Bây giờ không gian và thời gian là những đại lượng động lực: khi một vật chuyển động, hoặc một lực tác dụng, chúng đều ảnh hưởng tới độ cong của không gian và thời gian và đáp lại, cấu trúc của không - thời gian sẽ ảnh hưởng tới cách thức mà các vật chuyển động và các lực tác dụng. Không gian và thời gian không chỉ có tác động mà còn bị tác động bởi mọi điều xảy ra trong vũ trụ. Chính vì người ta không thể nói về các sự kiện trong vũ trụ mà không có khái niệm về không gian và thời gian, nên trong thuyết tương đối rộng sẽ trở nên vô nghĩa nếu nói về không gian và thời gian ở ngoài giới hạn của vũ trụ. Trong những thập kỷ tiếp sau, sự nhận thức mới này về không gian và thời gian đã làm cách mạng quan niệm của chúng ta về vũ trụ. Ý tưởng xưa cũ cho rằng một vũ trụ căn bản không thay đổi có thể đã tồn tại và có thể còn tiếp tục tồn tại đã vĩnh viễn được thay thế bằng khái niệm một vũ trụ động, đang giãn nở, một vũ trụ dường như đã bắt đầu ở một thời điểm hữu hạn trong quá khứ và có thể chấm dứt ở một thời điểm hữu hạn trong tương lai. Cuộc cách mạng này là đề tài của chương tiếp sau. Và những năm sau đó nó cũng đã là điểm xuất phát cho hoạt động của tôi trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Roger Penrose và tôi đã chứng tỏ được rằng chính thuyết tương đối rộng đã ngụ ý vũ trụ cần phải có điểm bắt đầu và có thể cả điểm kết thúc nữa.
Những gợn sóng truyền như một vòng tròn cứ lớn dần mãi theo thời gian. Nếu ta nghĩ về một mô hình ba chiều gồm bề mặt hai chiều của hồ và một chiều thời gian thì vòng tròn lớn dần của các gợn sóng sẽ tạo thành một nón có đỉnh nằm đúng tại chỗ và tại thời điểm hòn đá chạm vào mặt nước (hình 2.3). Tương tự, ánh sáng lan truyền từ một sự kiện sẽ tạo nên một mặt nón ba chiều trong không-thời gian 4 chiều. Mặt nón đó được gọi là mặt nón ánh sáng tương lai của sự kiện đang xét. Cũng bằng cách như vậy ta có thể dựng một mặt nón khác, gọi là mặt nón ánh sáng quá khứ - đó là tập hợp các sự kiện mà từ chúng một xung ánh sáng có thể tới được sự kiện đang xét ( hình 2.4).
Những mặt nón ánh sáng quá khứ và tương lai của một sự kiện P chia không gian thành ba miền (hình 2.5.). Tương lai tuyệt đối của sự kiện là vùng nằm trong mặt nón ánh sáng tương lai của P. Đây là tập hợp của tất cả các sự kiện có thể chịu ảnh hưởng của những điều xảy ra ở P.
Những tín hiệu từ P không thể tới được những sự kiện nằm ngoài nón ánh sáng của P bởi vì không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Do vậy mà các sự kiện đó không chịu ảnh hưởng những gì xảy ra ở P. Quá khứ tuyệt đối của P là vùng nằm trong nón ánh sáng quá khứ. Đây là tập hợp các sự kiện mà từ đó những tín hiệu truyền với vận tốc bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc của ánh sáng có thể tới được P. Do đó, tập hợp những sự kiện này có thể ảnh hưởng tới những gì xảy ra ở P. Nếu biết được ở một thời điểm đặc biệt nào đó những gì xảy ra ở mọi nơi trong vùng không gian nằm trong nón ánh sáng quá khứ của P thì người ta có thể tiên đoán những gì sẽ xảy ra ở P.
Phần còn lại là vùng không - thời gian không nằm trong nón ánh sáng tương lai hoặc quá khứ của P. Các sự kiện trong phần còn lại này không thể ảnh hưởng hoặc chịu ảnh hưởng bởi những sự kiện ở P. Ví dụ, nếu mặt trời ngừng chiếu sáng ở chính thời điểm này, thì nó sẽ không ảnh hưởng tới các sự kiện trên trái đất ở ngay thời điểm đó bởi vì chúng nằm ngoài nón ánh sáng của ánh sáng khi mặt trời tắt (hình 2.6). Chúng ta sẽ biết về sự kiện đó chỉ sau 8 phút - là thời gian đủ để ánh sáng đi từ mặt trời đến trái đất. Và chỉ khi này những sự kiện trên trái đất mới nằm trong nón ánh sáng tương lai của sự kiện ở đó mặt trời tắt. Tương tự như vậy, ở thời điểm hiện nay chúng ta không thể biết những gì đang xảy ra ở những nơi xa xôi trong vũ trụ, bởi vì ánh sáng mà chúng ta thấy từ những thiên hà xa xôi đã rời chúng từ hàng triệu năm trước. Như vậy, khi chúng ta quan sát vũ trụ thì thực ra là chúng ta đang thấy nó trong qúa khứ.
Nếu người ta bỏ qua những hiệu ứng hấp dẫn, như Einstein và Poincaré đã làm năm 1905, thì ta có thuyết tương đối được gọi là thuyết tương đối hẹp. Đối với mỗi sự kiện trong không-thời gian ta đều có thể dựng một nón ánh sáng (là tập hợp mọi con đường khả dĩ của ánh sáng trong không-thời gian được phát ra ở sự kiện đó), và vì vận tốc ánh sáng là như nhau ở mỗi sự kiện và theo mọi hướng, nên tất cả các nón ánh sáng là như nhau và cùng hướng theo một hướng. Lý thuyết này cũng nói với chúng ta rằng không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Điều đó có nghĩa là đường đi của mọi vật qua không-thời gian cần phải được biểu diễn bằng một đường nằm trong nón ánh sáng ở mỗi một sự kiện trên nó (hình 2.7.).
Lý thuyết tương đối hẹp rất thành công trong việc giải thích sự như nhau của vận tốc ánh sáng đối với mọi người quan sát (như thí nghiệm Michelson - Morley đã chứng tỏ) và trong sự mô tả những điều xảy ra khi các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, lý thuyết này lại không hòa hợp với thuyết hấp dẫn của Newton nói rằng các vật hút nhau với một lực phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng. Điều này có nghĩa là, nếu làm cho một vật chuyển động thì lực tác dụng lên các vật khác sẽ thay đổi ngay lập tức. Hay nói một cách khác, các tác dụng hấp dẫn truyền với vận tốc vô hạn, thay vì nó bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng như thuyết tương đối hẹp đòi hỏi.
Trong khoảng thời gian từ năm 1908 đến năm 1914, Einstein đã nhiều lần thử tìm một lý thuyết hấp dẫn hòa hợp được với thuyết tương đối hẹp, nhưng đã không thành công. Cuối cùng, vào năm 1915, ông đã đưa ra được một lý thuyết mà ngày nay chúng ta gọi là thuyết tương đối rộng (hay thuyết tương đối tổng quát). Ông đã đưa ra một giả thiết có tính chất cách mạng cho rằng hấp dẫn không phải là một lực giống như những lực khác mà nó là kết quả của sự kiện là: không - thời gian không phải phẳng như trước kia người ta vẫn tưởng, mà nó cong hay “vênh” đi do sự phân bố của khối lượng và năng lượng trong nó. Các vật như trái đất không phải được tạo ra để chuyển động trên các quĩ đạo cong bởi lực hấp dẫn, mà thay vì thế, chúng chuyển động theo đường rất gần với đường thẳng trong không gian cong mà người ta gọi là đường trắc địa. Đường trắc địa là đường ngắn nhất (hoặc dài nhất) giữa hai điểm cạnh nhau. Ví dụ, bề mặt trái đất là một không gian cong hai chiều.
Đường trắc địa trên mặt trái đất chính là vòng tròn lớn và nó là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt đất (H.2.8). Vì đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai sân bay, nên nó là đường mà những người dẫn đường hàng không hướng các phi công bay theo. Trong lý thuyết tương đối rộng, các vật luôn luôn chuyển động theo các đường “thẳng” trong không-thời gian 4 chiều, nhưng đối với chúng ta, chúng có vẻ chuyển động theo những đường cong trong không gian 3 chiều. (Điều này rất giống với việc quan sát chiếc máy bay trên một vùng đồi gò. Mặc dù nó bay theo đường thẳng trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng của nó lại chuyển động theo một đường cong trên mặt đất hai chiều).
Khối lượng của mặt trời làm cong không-thời gian theo cách sao cho mặc dù trái đất chuyển động theo đường thẳng trong không-thời gian 4 chiều, nhưng nó lại thể hiện đối với chúng ta là chuyển động theo quĩ đạo tròn trong không gian ba chiều. Và thực tế, quĩ đạo của các hành tinh được tiên đoán bởi lý thuyết tương đối rộng cũng chính xác như được tiên đoán bởi lý thuyết hấp dẫn của Newton. Tuy nhiên, trong trường hợp đối với sao Thủy, hành tinh gần mặt trời nhất, do đó cảm thấy hiệu ứng hấp dẫn mạnh nhất và có quĩ đạo thuôn dài hơn, thì thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng trục dài của elip quĩ đạo quay quanh mặt trời với vận tốc 1 độ trong 10 ngàn năm. Mặc dù hiệu ứng là rất nhỏ, nhưng nó đã được ghi nhận từ trước năm 1915 và được dùng như một bằng chứng đầu tiên khẳng định lý thuyết của Einstein. Trong những năm gần đây, những độ lệch thậm chí còn nhỏ hơn nữa của quĩ đạo các hành tinh khác so với những tiên đoán của lý thuyết Newton cũng đã được đo bằng rada và cho thấy chúng phù hợp với những tiên đoán của thuyết tương đối rộng.
Những tia sáng cũng cần phải đi theo những đường trắc địa trong không-thời gian. Cũng lại do không gian bị cong nên ánh sáng không còn thể hiện là truyền theo đường thẳng trong không gian nữa. Như vậy thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng anh sáng có thể bị bẻ cong bởi các trường hấp dẫn. Ví dụ, lý thuyết này tiên đoán rằng nón ánh sáng của những điểm ở gần mặt trời sẽ hơi bị uốn hướng vào phía trong do tác dụng của khối lượng mặt trời. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ một ngôi sao xa khi đi qua gần mặt trời có thể bị lệch đi một góc nhỏ, khiến cho đối với những người quan sát trên mặt đất, ngôisao đó dường như ở một vị trí khác (H.2.9). Tất nhiên, nếu ánh sáng từ ngôi sao đó luôn luôn đi qua gần mặt trời, thì chúng ta không thể nói tia sáng có bị lệch hay không hoặc thay vì thế ngôi sao có thực sự nằm ở đúng chỗ chúng ta nhìn thấy nó hay không. Tuy nhiên, vì trái đất quay quanh mặt trời nên những ngôi sao khác nhau có lúc dường như đi qua phía sau mặt trời và ánh sáng của chúng bị lệch. Vì thế những ngôi sao này thay đổi vị trí biểu kiến của chúng đối với các ngôi sao khác.
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của Newton đã đặt dấu chấm hết cho ý niệm về vị trí tuyệt đối trong không gian. Thuyết tương đối đã vứt bỏ khái niệm thời gian tuyệt đối. Ta hãy xét hai đứa trẻ sinh đôi. Giả sử rằng một đứa được đưa lên sống trên đỉnh núi và một đứa sống ở ngang mực nước biển. Đứa thứ nhất sẽ già nhanh hơn đứa thứ hai. Như vậy, nếu gặp lại nhau một đứa sẽ già hơn đứa kia. Trong trường hợp này sự khác nhau về tuổi tác sẽ rất nhỏ, nhưng nó sẽ lớn hơn rất nhiều nếu một đứa thực hiện chuyến du hành dài trong con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng. Khi trở về nó sẽ trẻ hơn rất nhiều so với đứa ở lại trái đất. Điều này được gọi là nghịch lý hai đứa trẻ sinh đôi, nhưng nó là nghịch lý chỉ nếu ý niệm về thời gian tuyệt đối vẫn còn lẩn quất trong đầu óc chúng ta. Trong lý thuyết tương đối không có một thời gian tuyệt đối duy nhất, mà thay vì thế mỗi cá nhân có một độ đo thời gian riêng của mình và độ đo đó phụ thuộc vào nơi họ đang ở và họ chuyển động như thế nào.
Trước năm 1915, không gian và thời gian được xem là một sân khấu cố định nơi diễn ra mọi sự kiện và không chịu ảnh hưởng bởi những điều xảy ra trong nó. Điều này đúng thậm chí cả với thuyết tương đối hẹp. Các vật chuyển động, các lực hút và đẩy, nhưng không gian và thời gian vẫn liên tục và không bị ảnh hưởng gì. Và ý nghĩ cho rằng không gian và thời gian cứ tiếp tục như thế mãi mãi cũng là chuyện tự nhiên.
Tuy nhiên, tình hình hoàn toàn khác trong thuyết tương đối rộng. Bây giờ không gian và thời gian là những đại lượng động lực: khi một vật chuyển động, hoặc một lực tác dụng, chúng đều ảnh hưởng tới độ cong của không gian và thời gian và đáp lại, cấu trúc của không - thời gian sẽ ảnh hưởng tới cách thức mà các vật chuyển động và các lực tác dụng. Không gian và thời gian không chỉ có tác động mà còn bị tác động bởi mọi điều xảy ra trong vũ trụ. Chính vì người ta không thể nói về các sự kiện trong vũ trụ mà không có khái niệm về không gian và thời gian, nên trong thuyết tương đối rộng sẽ trở nên vô nghĩa nếu nói về không gian và thời gian ở ngoài giới hạn của vũ trụ. Trong những thập kỷ tiếp sau, sự nhận thức mới này về không gian và thời gian đã làm cách mạng quan niệm của chúng ta về vũ trụ. Ý tưởng xưa cũ cho rằng một vũ trụ căn bản không thay đổi có thể đã tồn tại và có thể còn tiếp tục tồn tại đã vĩnh viễn được thay thế bằng khái niệm một vũ trụ động, đang giãn nở, một vũ trụ dường như đã bắt đầu ở một thời điểm hữu hạn trong quá khứ và có thể chấm dứt ở một thời điểm hữu hạn trong tương lai. Cuộc cách mạng này là đề tài của chương tiếp sau. Và những năm sau đó nó cũng đã là điểm xuất phát cho hoạt động của tôi trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Roger Penrose và tôi đã chứng tỏ được rằng chính thuyết tương đối rộng đã ngụ ý vũ trụ cần phải có điểm bắt đầu và có thể cả điểm kết thúc nữa.
Nếu người ta bỏ qua những hiệu ứng hấp dẫn, như Einstein và Poincaré đã làm năm 1905, thì ta có thuyết tương đối được gọi là thuyết tương đối hẹp. Đối với mỗi sự kiện trong không-thời gian ta đều có thể dựng một nón ánh sáng (là tập hợp mọi con đường khả dĩ của ánh sáng trong không-thời gian được phát ra ở sự kiện đó), và vì vận tốc ánh sáng là như nhau ở mỗi sự kiện và theo mọi hướng, nên tất cả các nón ánh sáng là như nhau và cùng hướng theo một hướng. Lý thuyết này cũng nói với chúng ta rằng không gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Điều đó có nghĩa là đường đi của mọi vật qua không-thời gian cần phải được biểu diễn bằng một đường nằm trong nón ánh sáng ở mỗi một sự kiện trên nó (hình 2.7.).
Lý thuyết tương đối hẹp rất thành công trong việc giải thích sự như nhau của vận tốc ánh sáng đối với mọi người quan sát (như thí nghiệm Michelson - Morley đã chứng tỏ) và trong sự mô tả những điều xảy ra khi các vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, lý thuyết này lại không hòa hợp với thuyết hấp dẫn của Newton nói rằng các vật hút nhau với một lực phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng. Điều này có nghĩa là, nếu làm cho một vật chuyển động thì lực tác dụng lên các vật khác sẽ thay đổi ngay lập tức. Hay nói một cách khác, các tác dụng hấp dẫn truyền với vận tốc vô hạn, thay vì nó bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng như thuyết tương đối hẹp đòi hỏi.
Trong khoảng thời gian từ năm 1908 đến năm 1914, Einstein đã nhiều lần thử tìm một lý thuyết hấp dẫn hòa hợp được với thuyết tương đối hẹp, nhưng đã không thành công. Cuối cùng, vào năm 1915, ông đã đưa ra được một lý thuyết mà ngày nay chúng ta gọi là thuyết tương đối rộng (hay thuyết tương đối tổng quát). Ông đã đưa ra một giả thiết có tính chất cách mạng cho rằng hấp dẫn không phải là một lực giống như những lực khác mà nó là kết quả của sự kiện là: không - thời gian không phải phẳng như trước kia người ta vẫn tưởng, mà nó cong hay “vênh” đi do sự phân bố của khối lượng và năng lượng trong nó. Các vật như trái đất không phải được tạo ra để chuyển động trên các quĩ đạo cong bởi lực hấp dẫn, mà thay vì thế, chúng chuyển động theo đường rất gần với đường thẳng trong không gian cong mà người ta gọi là đường trắc địa. Đường trắc địa là đường ngắn nhất (hoặc dài nhất) giữa hai điểm cạnh nhau. Ví dụ, bề mặt trái đất là một không gian cong hai chiều.
Đường trắc địa trên mặt trái đất chính là vòng tròn lớn và nó là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt đất (H.2.8). Vì đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai sân bay, nên nó là đường mà những người dẫn đường hàng không hướng các phi công bay theo. Trong lý thuyết tương đối rộng, các vật luôn luôn chuyển động theo các đường “thẳng” trong không-thời gian 4 chiều, nhưng đối với chúng ta, chúng có vẻ chuyển động theo những đường cong trong không gian 3 chiều. (Điều này rất giống với việc quan sát chiếc máy bay trên một vùng đồi gò. Mặc dù nó bay theo đường thẳng trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng của nó lại chuyển động theo một đường cong trên mặt đất hai chiều).
Khối lượng của mặt trời làm cong không-thời gian theo cách sao cho mặc dù trái đất chuyển động theo đường thẳng trong không-thời gian 4 chiều, nhưng nó lại thể hiện đối với chúng ta là chuyển động theo quĩ đạo tròn trong không gian ba chiều. Và thực tế, quĩ đạo của các hành tinh được tiên đoán bởi lý thuyết tương đối rộng cũng chính xác như được tiên đoán bởi lý thuyết hấp dẫn của
Trong khoảng thời gian từ năm 1908 đến năm 1914, Einstein đã nhiều lần thử tìm một lý thuyết hấp dẫn hòa hợp được với thuyết tương đối hẹp, nhưng đã không thành công. Cuối cùng, vào năm 1915, ông đã đưa ra được một lý thuyết mà ngày nay chúng ta gọi là thuyết tương đối rộng (hay thuyết tương đối tổng quát). Ông đã đưa ra một giả thiết có tính chất cách mạng cho rằng hấp dẫn không phải là một lực giống như những lực khác mà nó là kết quả của sự kiện là: không - thời gian không phải phẳng như trước kia người ta vẫn tưởng, mà nó cong hay “vênh” đi do sự phân bố của khối lượng và năng lượng trong nó. Các vật như trái đất không phải được tạo ra để chuyển động trên các quĩ đạo cong bởi lực hấp dẫn, mà thay vì thế, chúng chuyển động theo đường rất gần với đường thẳng trong không gian cong mà người ta gọi là đường trắc địa. Đường trắc địa là đường ngắn nhất (hoặc dài nhất) giữa hai điểm cạnh nhau. Ví dụ, bề mặt trái đất là một không gian cong hai chiều.
Đường trắc địa trên mặt trái đất chính là vòng tròn lớn và nó là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt đất (H.2.8). Vì đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai sân bay, nên nó là đường mà những người dẫn đường hàng không hướng các phi công bay theo. Trong lý thuyết tương đối rộng, các vật luôn luôn chuyển động theo các đường “thẳng” trong không-thời gian 4 chiều, nhưng đối với chúng ta, chúng có vẻ chuyển động theo những đường cong trong không gian 3 chiều. (Điều này rất giống với việc quan sát chiếc máy bay trên một vùng đồi gò. Mặc dù nó bay theo đường thẳng trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng của nó lại chuyển động theo một đường cong trên mặt đất hai chiều).
Khối lượng của mặt trời làm cong không-thời gian theo cách sao cho mặc dù trái đất chuyển động theo đường thẳng trong không-thời gian 4 chiều, nhưng nó lại thể hiện đối với chúng ta là chuyển động theo quĩ đạo tròn trong không gian ba chiều. Và thực tế, quĩ đạo của các hành tinh được tiên đoán bởi lý thuyết tương đối rộng cũng chính xác như được tiên đoán bởi lý thuyết hấp dẫn của Newton. Tuy nhiên, trong trường hợp đối với sao Thủy, hành tinh gần mặt trời nhất, do đó cảm thấy hiệu ứng hấp dẫn mạnh nhất và có quĩ đạo thuôn dài hơn, thì thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng trục dài của elip quĩ đạo quay quanh mặt trời với vận tốc 1 độ trong 10 ngàn năm. Mặc dù hiệu ứng là rất nhỏ, nhưng nó đã được ghi nhận từ trước năm 1915 và được dùng như một bằng chứng đầu tiên khẳng định lý thuyết của Einstein. Trong những năm gần đây, những độ lệch thậm chí còn nhỏ hơn nữa của quĩ đạo các hành tinh khác so với những tiên đoán của lý thuyết Newton cũng đã được đo bằng rada và cho thấy chúng phù hợp với những tiên đoán của thuyết tương đối rộng.
Những tia sáng cũng cần phải đi theo những đường trắc địa trong không-thời gian. Cũng lại do không gian bị cong nên ánh sáng không còn thể hiện là truyền theo đường thẳng trong không gian nữa. Như vậy thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng anh sáng có thể bị bẻ cong bởi các trường hấp dẫn. Ví dụ, lý thuyết này tiên đoán rằng nón ánh sáng của những điểm ở gần mặt trời sẽ hơi bị uốn hướng vào phía trong do tác dụng của khối lượng mặt trời. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ một ngôi sao xa khi đi qua gần mặt trời có thể bị lệch đi một góc nhỏ, khiến cho đối với những người quan sát trên mặt đất, ngôisao đó dường như ở một vị trí khác (H.2.9). Tất nhiên, nếu ánh sáng từ ngôi sao đó luôn luôn đi qua gần mặt trời, thì chúng ta không thể nói tia sáng có bị lệch hay không hoặc thay vì thế ngôi sao có thực sự nằm ở đúng chỗ chúng ta nhìn thấy nó hay không. Tuy nhiên, vì trái đất quay quanh mặt trời nên những ngôi sao khác nhau có lúc dường như đi qua phía sau mặt trời và ánh sáng của chúng bị lệch. Vì thế những ngôi sao này thay đổi vị trí biểu kiến của chúng đối với các ngôi sao khác.
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của Newton đã đặt dấu chấm hết cho ý niệm về vị trí tuyệt đối trong không gian. Thuyết tương đối đã vứt bỏ khái niệm thời gian tuyệt đối. Ta hãy xét hai đứa trẻ sinh đôi. Giả sử rằng một đứa được đưa lên sống trên đỉnh núi và một đứa sống ở ngang mực nước biển. Đứa thứ nhất sẽ già nhanh hơn đứa thứ hai. Như vậy, nếu gặp lại nhau một đứa sẽ già hơn đứa kia. Trong trường hợp này sự khác nhau về tuổi tác sẽ rất nhỏ, nhưng nó sẽ lớn hơn rất nhiều nếu một đứa thực hiện chuyến du hành dài trong con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng. Khi trở về nó sẽ trẻ hơn rất nhiều so với đứa ở lại trái đất. Điều này được gọi là nghịch lý hai đứa trẻ sinh đôi, nhưng nó là nghịch lý chỉ nếu ý niệm về thời gian tuyệt đối vẫn còn lẩn quất trong đầu óc chúng ta. Trong lý thuyết tương đối không có một thời gian tuyệt đối duy nhất, mà thay vì thế mỗi cá nhân có một độ đo thời gian riêng của mình và độ đo đó phụ thuộc vào nơi họ đang ở và họ chuyển động như thế nào.
Trước năm 1915, không gian và thời gian được xem là một sân khấu cố định nơi diễn ra mọi sự kiện và không chịu ảnh hưởng bởi những điều xảy ra trong nó. Điều này đúng thậm chí cả với thuyết tương đối hẹp. Các vật chuyển động, các lực hút và đẩy, nhưng không gian và thời gian vẫn liên tục và không bị ảnh hưởng gì. Và ý nghĩ cho rằng không gian và thời gian cứ tiếp tục như thế mãi mãi cũng là chuyện tự nhiên.
Tuy nhiên, tình hình hoàn toàn khác trong thuyết tương đối rộng. Bây giờ không gian và thời gian là những đại lượng động lực: khi một vật chuyển động, hoặc một lực tác dụng, chúng đều ảnh hưởng tới độ cong của không gian và thời gian và đáp lại, cấu trúc của không - thời gian sẽ ảnh hưởng tới cách thức mà các vật chuyển động và các lực tác dụng. Không gian và thời gian không chỉ có tác động mà còn bị tác động bởi mọi điều xảy ra trong vũ trụ. Chính vì người ta không thể nói về các sự kiện trong vũ trụ mà không có khái niệm về không gian và thời gian, nên trong thuyết tương đối rộng sẽ trở nên vô nghĩa nếu nói về không gian và thời gian ở ngoài giới hạn của vũ trụ. Trong những thập kỷ tiếp sau, sự nhận thức mới này về không gian và thời gian đã làm cách mạng quan niệm của chúng ta về vũ trụ. Ý tưởng xưa cũ cho rằng một vũ trụ căn bản không thay đổi có thể đã tồn tại và có thể còn tiếp tục tồn tại đã vĩnh viễn được thay thế bằng khái niệm một vũ trụ động, đang giãn nở, một vũ trụ dường như đã bắt đầu ở một thời điểm hữu hạn trong quá khứ và có thể chấm dứt ở một thời điểm hữu hạn trong tương lai. Cuộc cách mạng này là đề tài của chương tiếp sau. Và những năm sau đó nó cũng đã là điểm xuất phát cho hoạt động của tôi trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Roger Penrose và tôi đã chứng tỏ được rằng chính thuyết tương đối rộng đã ngụ ý vũ trụ cần phải có điểm bắt đầu và có thể cả điểm kết thúc nữa.
Đường trắc địa trên mặt trái đất chính là vòng tròn lớn và nó là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt đất (H.2.8). Vì đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai sân bay, nên nó là đường mà những người dẫn đường hàng không hướng các phi công bay theo. Trong lý thuyết tương đối rộng, các vật luôn luôn chuyển động theo các đường “thẳng” trong không-thời gian 4 chiều, nhưng đối với chúng ta, chúng có vẻ chuyển động theo những đường cong trong không gian 3 chiều. (Điều này rất giống với việc quan sát chiếc máy bay trên một vùng đồi gò. Mặc dù nó bay theo đường thẳng trong không gian 3 chiều, nhưng cái bóng của nó lại chuyển động theo một đường cong trên mặt đất hai chiều).
Khối lượng của mặt trời làm cong không-thời gian theo cách sao cho mặc dù trái đất chuyển động theo đường thẳng trong không-thời gian 4 chiều, nhưng nó lại thể hiện đối với chúng ta là chuyển động theo quĩ đạo tròn trong không gian ba chiều. Và thực tế, quĩ đạo của các hành tinh được tiên đoán bởi lý thuyết tương đối rộng cũng chính xác như được tiên đoán bởi lý thuyết hấp dẫn của Newton. Tuy nhiên, trong trường hợp đối với sao Thủy, hành tinh gần mặt trời nhất, do đó cảm thấy hiệu ứng hấp dẫn mạnh nhất và có quĩ đạo thuôn dài hơn, thì thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng trục dài của elip quĩ đạo quay quanh mặt trời với vận tốc 1 độ trong 10 ngàn năm. Mặc dù hiệu ứng là rất nhỏ, nhưng nó đã được ghi nhận từ trước năm 1915 và được dùng như một bằng chứng đầu tiên khẳng định lý thuyết của Einstein. Trong những năm gần đây, những độ lệch thậm chí còn nhỏ hơn nữa của quĩ đạo các hành tinh khác so với những tiên đoán của lý thuyết Newton cũng đã được đo bằng rada và cho thấy chúng phù hợp với những tiên đoán của thuyết tương đối rộng.
Những tia sáng cũng cần phải đi theo những đường trắc địa trong không-thời gian. Cũng lại do không gian bị cong nên ánh sáng không còn thể hiện là truyền theo đường thẳng trong không gian nữa. Như vậy thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng anh sáng có thể bị bẻ cong bởi các trường hấp dẫn. Ví dụ, lý thuyết này tiên đoán rằng nón ánh sáng của những điểm ở gần mặt trời sẽ hơi bị uốn hướng vào phía trong do tác dụng của khối lượng mặt trời. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ một ngôi sao xa khi đi qua gần mặt trời có thể bị lệch đi một góc nhỏ, khiến cho đối với những người quan sát trên mặt đất, ngôisao đó dường như ở một vị trí khác (H.2.9). Tất nhiên, nếu ánh sáng từ ngôi sao đó luôn luôn đi qua gần mặt trời, thì chúng ta không thể nói tia sáng có bị lệch hay không hoặc thay vì thế ngôi sao có thực sự nằm ở đúng chỗ chúng ta nhìn thấy nó hay không. Tuy nhiên, vì trái đất quay quanh mặt trời nên những ngôi sao khác nhau có lúc dường như đi qua phía sau mặt trời và ánh sáng của chúng bị lệch. Vì thế những ngôi sao này thay đổi vị trí biểu kiến của chúng đối với các ngôi sao khác.
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của
Những tia sáng cũng cần phải đi theo những đường trắc địa trong không-thời gian. Cũng lại do không gian bị cong nên ánh sáng không còn thể hiện là truyền theo đường thẳng trong không gian nữa. Như vậy thuyết tương đối rộng tiên đoán rằng anh sáng có thể bị bẻ cong bởi các trường hấp dẫn. Ví dụ, lý thuyết này tiên đoán rằng nón ánh sáng của những điểm ở gần mặt trời sẽ hơi bị uốn hướng vào phía trong do tác dụng của khối lượng mặt trời. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ một ngôi sao xa khi đi qua gần mặt trời có thể bị lệch đi một góc nhỏ, khiến cho đối với những người quan sát trên mặt đất, ngôisao đó dường như ở một vị trí khác (H.2.9). Tất nhiên, nếu ánh sáng từ ngôi sao đó luôn luôn đi qua gần mặt trời, thì chúng ta không thể nói tia sáng có bị lệch hay không hoặc thay vì thế ngôi sao có thực sự nằm ở đúng chỗ chúng ta nhìn thấy nó hay không. Tuy nhiên, vì trái đất quay quanh mặt trời nên những ngôi sao khác nhau có lúc dường như đi qua phía sau mặt trời và ánh sáng của chúng bị lệch. Vì thế những ngôi sao này thay đổi vị trí biểu kiến của chúng đối với các ngôi sao khác.
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của
Thường thì rất khó quan sát hiệu ứng này, bởi vì ánh sáng của mặt trời làm cho ta không thể quan sát được những ngôi sao có vị trí biểu kiến ở gần mặt trời trên bầu trời. Tuy nhiên, điều này có thể làm được trong thời gian có nhật thực, khi mà ánh sáng mặt trời bị mặt trăng chắn mất. Nhưng tiên đoán của Einstein không được kiểm chứng ngay lập tức trong năm 1915 vì cuộc chiến tranh thế giới lần thứ nhất lúc đó đang lan rộng, và phải tới tận năm 1919 một đoàn thám hiểm Anh khi quan sát nhật thực ở Tây Phi đã chứng tỏ được rằng ánh sáng thực sự bị lệch do mặt trời đúng như lý thuyết đã dự đoán. Sự chứng minh lý thuyết của một người Đức bởi các nhà khoa học Anh đã được nhiệt liệt hoan nghênh như một hành động hòa giải vĩ đại giữa hai nước sau chiến tranh. Do đó, thật là trớ trêu khi kiểm tra lại sau đó những bức ảnh mà đoàn thám hiểm đã chụp, người ta phát hiện ra rằng sai số cũng lớn cỡ hiệu ứng mà họ định đo. Phép đo của họ hoàn toàn chỉ là may mắn hoặc một trường hợp đã biết trước kết quả mà họ muốn nhận được - một điều cũng thường xảy ra trong khoa học. Tuy nhiên, sự lệch của tia sáng đã được khẳng định hoàn toàn chính xác bởi nhiều quan sát sau này.
Một tiên đoán khác của thuyết tương đối rộng là thời gian dường như chạy chậm hơn khi ở gần những vật có khối lượng lớn như trái đất. Đó là bởi vì một mối liên hệ giữa năng lượng của ánh sáng và tần số của nó (tần số là sóng ánh sáng trong một giây): năng lượng càng lớn thì tần số càng cao. Khi ánh sáng truyền hướng lên trong trường hấp dẫn của trái đất, nó sẽ mất năng lượng và vì thế tần số của nó giảm. (Điều này có nghĩa là khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp tăng lên). Đối với người ở trên cao mọi chuyện ở phía dưới xảy ra chậm chạp hơn. Điều tiên đoán này đã được kiểm chứng vào năm 1962 bằng cách dùng hai đồng hồ rất chính xác: một đặt ở đỉnh và một đặt ở chân một tháp nước. Đồng hồ ở chân tháp, gần trái đất hơn, chạy chậm hơn - hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối rộng. Sự khác biệt của tốc độ đồng hồ ở những độ cao khác nhau trên mặt đất có một tầm quan trọng đặc biệt trong thực tiễn hiện nay khi người ta sử dụng những hệ thống đạo hàng chính xác dựa trên những tín hiệu từ vệ tinh. Nếu khi này người ta bỏ qua những tiên đoán của thuyết tương đối rộng, thì vị trí tính toán được có thể sai khác tới vài ba dặm!
Những định luật về chuyển động của Newton đã đặt dấu chấm hết cho ý niệm về vị trí tuyệt đối trong không gian. Thuyết tương đối đã vứt bỏ khái niệm thời gian tuyệt đối. Ta hãy xét hai đứa trẻ sinh đôi. Giả sử rằng một đứa được đưa lên sống trên đỉnh núi và một đứa sống ở ngang mực nước biển. Đứa thứ nhất sẽ già nhanh hơn đứa thứ hai. Như vậy, nếu gặp lại nhau một đứa sẽ già hơn đứa kia. Trong trường hợp này sự khác nhau về tuổi tác sẽ rất nhỏ, nhưng nó sẽ lớn hơn rất nhiều nếu một đứa thực hiện chuyến du hành dài trong con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng. Khi trở về nó sẽ trẻ hơn rất nhiều so với đứa ở lại trái đất. Điều này được gọi là nghịch lý hai đứa trẻ sinh đôi, nhưng nó là nghịch lý chỉ nếu ý niệm về thời gian tuyệt đối vẫn còn lẩn quất trong đầu óc chúng ta. Trong lý thuyết tương đối không có một thời gian tuyệt đối duy nhất, mà thay vì thế mỗi cá nhân có một độ đo thời gian riêng của mình và độ đo đó phụ thuộc vào nơi họ đang ở và họ chuyển động như thế nào.
Trước năm 1915, không gian và thời gian được xem là một sân khấu cố định nơi diễn ra mọi sự kiện và không chịu ảnh hưởng bởi những điều xảy ra trong nó. Điều này đúng thậm chí cả với thuyết tương đối hẹp. Các vật chuyển động, các lực hút và đẩy, nhưng không gian và thời gian vẫn liên tục và không bị ảnh hưởng gì. Và ý nghĩ cho rằng không gian và thời gian cứ tiếp tục như thế mãi mãi cũng là chuyện tự nhiên.
Tuy nhiên, tình hình hoàn toàn khác trong thuyết tương đối rộng. Bây giờ không gian và thời gian là những đại lượng động lực: khi một vật chuyển động, hoặc một lực tác dụng, chúng đều ảnh hưởng tới độ cong của không gian và thời gian và đáp lại, cấu trúc của không - thời gian sẽ ảnh hưởng tới cách thức mà các vật chuyển động và các lực tác dụng. Không gian và thời gian không chỉ có tác động mà còn bị tác động bởi mọi điều xảy ra trong vũ trụ. Chính vì người ta không thể nói về các sự kiện trong vũ trụ mà không có khái niệm về không gian và thời gian, nên trong thuyết tương đối rộng sẽ trở nên vô nghĩa nếu nói về không gian và thời gian ở ngoài giới hạn của vũ trụ. Trong những thập kỷ tiếp sau, sự nhận thức mới này về không gian và thời gian đã làm cách mạng quan niệm của chúng ta về vũ trụ. Ý tưởng xưa cũ cho rằng một vũ trụ căn bản không thay đổi có thể đã tồn tại và có thể còn tiếp tục tồn tại đã vĩnh viễn được thay thế bằng khái niệm một vũ trụ động, đang giãn nở, một vũ trụ dường như đã bắt đầu ở một thời điểm hữu hạn trong quá khứ và có thể chấm dứt ở một thời điểm hữu hạn trong tương lai. Cuộc cách mạng này là đề tài của chương tiếp sau. Và những năm sau đó nó cũng đã là điểm xuất phát cho hoạt động của tôi trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Roger Penrose và tôi đã chứng tỏ được rằng chính thuyết tương đối rộng đã ngụ ý vũ trụ cần phải có điểm bắt đầu và có thể cả điểm kết thúc nữa.
Trước năm 1915, không gian và thời gian được xem là một sân khấu cố định nơi diễn ra mọi sự kiện và không chịu ảnh hưởng bởi những điều xảy ra trong nó. Điều này đúng thậm chí cả với thuyết tương đối hẹp. Các vật chuyển động, các lực hút và đẩy, nhưng không gian và thời gian vẫn liên tục và không bị ảnh hưởng gì. Và ý nghĩ cho rằng không gian và thời gian cứ tiếp tục như thế mãi mãi cũng là chuyện tự nhiên.
Tuy nhiên, tình hình hoàn toàn khác trong thuyết tương đối rộng. Bây giờ không gian và thời gian là những đại lượng động lực: khi một vật chuyển động, hoặc một lực tác dụng, chúng đều ảnh hưởng tới độ cong của không gian và thời gian và đáp lại, cấu trúc của không - thời gian sẽ ảnh hưởng tới cách thức mà các vật chuyển động và các lực tác dụng. Không gian và thời gian không chỉ có tác động mà còn bị tác động bởi mọi điều xảy ra trong vũ trụ. Chính vì người ta không thể nói về các sự kiện trong vũ trụ mà không có khái niệm về không gian và thời gian, nên trong thuyết tương đối rộng sẽ trở nên vô nghĩa nếu nói về không gian và thời gian ở ngoài giới hạn của vũ trụ. Trong những thập kỷ tiếp sau, sự nhận thức mới này về không gian và thời gian đã làm cách mạng quan niệm của chúng ta về vũ trụ. Ý tưởng xưa cũ cho rằng một vũ trụ căn bản không thay đổi có thể đã tồn tại và có thể còn tiếp tục tồn tại đã vĩnh viễn được thay thế bằng khái niệm một vũ trụ động, đang giãn nở, một vũ trụ dường như đã bắt đầu ở một thời điểm hữu hạn trong quá khứ và có thể chấm dứt ở một thời điểm hữu hạn trong tương lai. Cuộc cách mạng này là đề tài của chương tiếp sau. Và những năm sau đó nó cũng đã là điểm xuất phát cho hoạt động của tôi trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Roger Penrose và tôi đã chứng tỏ được rằng chính thuyết tương đối rộng đã ngụ ý vũ trụ cần phải có điểm bắt đầu và có thể cả điểm kết thúc nữa.

Xem tiếp: Chương 3

Vào ngày: 27 tháng 12 năm 2003

Xung phản xạ từ sự kiện trở về và người quan sát đo thời gian mà họ nhận được tiếng dội. Thời gian xảy ra sự kiện khi đó sẽ bằng một nửa thời gian tính từ khi xung được gửi đi đến khi nhận được tiếng dội trở lại, còn khoảng cách tới sự kiện bằng nửa số thời gian cho hai lượt đi-về đó nhân với vận tốc ánh sáng. (Một sư kiện, theo ý nghĩa này, là một điều gì đó xảy ra ở một điểm duy nhất trong không gian và ở một điểm xác định trong thời gian).

Đạo giác ngộ

Thứ Sáu, 28 tháng 3, 2014

Sự hình thành nên vũ trụ, không gian và thời gian, sai lệch toán học

A / LỜI THIỆU :

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Giới thiệu về tôi

Đạo giác ngộ - giải thoát